高中数学人教版新课标A选修1-1第二章 圆锥曲线与方程综合与测试习题

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(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．双曲线－＝1的渐近线方程是(　　)

A．4x±3y＝0　　　　　　 B．16x±9y＝0

C．3x±4y＝0 D．9x±16y＝0

【解析】　由题意知，双曲线焦点在x轴上，且a＝3，b＝4，∴渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0.

【答案】　A

2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是(　　)

A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4

C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4

【解析】　令y＝0，得x＝－4，

∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，

∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A.

【答案】　A

3．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x B．y＝±2x

C．y＝±x D．y＝±x

【解析】　由已知，得b＝1，c＝，a＝＝.

因为双曲线的焦点在x轴上，

所以渐近线方程为y＝±x＝±x.

【答案】　C

4．(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)

A．2   B.

C. D．1

【解析】　由题意得e＝＝2，∴＝2a，

∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.

【答案】　D

5．与曲线＋＝1共焦点，且与曲线－＝1共渐近线的双曲线的方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

【解析】　根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为－＝λ(λ＜0)，即－＝1.

由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－.

故所求双曲线的方程为－＝1.

【答案】　A

二、填空题

6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．

【解析】　由三角形相似或平行线分线段成比例定理得＝，∴＝3，即e＝3.

【答案】　3

7．直线x－y＋＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长是________．

【解析】　联立消去y，得x2＋3x＋2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－3，x1x2＝2，

∴|AB|＝·＝2.

【答案】　2

8．若直线x＝2与双曲线x2－＝1(b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________.

 【导学号：26160051】

【解析】　由双曲线为x2－＝1得渐近线为y＝±bx，则交点A(2,2b)，B(2，－2b)．

∵S△AOB＝×2×4b＝8，∴b＝2.

又a2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5.

∴焦距2c＝2.

【答案】　2

三、解答题

9．已知双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝，顶点到渐近线的距离为，求双曲线C的方程．

【解】　依题意，双曲线的焦点在y轴上，顶点坐标为(0，a)，渐近线方程为y＝±x，即ax±by＝0，

所以＝＝.

又e＝＝，

所以b＝1，即c2－a2＝1，2－a2＝1，

解得a2＝4，故双曲线方程为－x2＝1.

10．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在点P，使|PF1|＝2|PF2|，试确定双曲线离心率的取值范围．

【解】　由题意知在双曲线上存在一点P，使得|PF1|＝2|PF2|，如图所示．

又∵|PF1|－|PF2|＝2a，

∴|PF2|＝2a，即在双曲线右支上恒存在点P，使得|PF2|＝2a，即|AF2|≤2a.

∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a，∴c≤3a.

又∵c＞a，∴a＜c≤3a，∴1＜≤3，即1＜e≤3.

[能力提升]

1．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是(　　)

A．(－10,0)　　　　　　 B．(－12,0)

C．(－3,0) D．(－60，－12)

【解析】　双曲线方程化为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，又∵e∈(1,2)，∴1<<2，解得－12<k<0.

【答案】　B

2．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

【解析】　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有

两式作差得＝＝＝，

又AB的斜率是＝1，

所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，

所以双曲线标准方程是－＝1.

【答案】　B

3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．

【解析】　由题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，

设P(x，y)(x≥1)，

则＝(－1－x，－y)，

＝(2－x，－y)，

∴·＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2－x－2＋y2，

由双曲线方程得y2＝3x2－3，

代入上式得·＝4x2－x－5

＝42－，

又x≥1，所以当x＝1时，·取得最小值，且最小值为－2.

【答案】　－2

4．(2016·荆州高二检测)双曲线C的中点在原点，右焦点为F，渐近线方程为y＝±x.

(1)求双曲线C的方程；  【导学号：26160052】

(2)设直线L：y＝kx＋1与双曲线交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？

【解】　(1)设双曲线的方程为－＝1，由焦点坐标得c＝，渐近线方程为y＝±x＝±x，结合c2＝a2＋b2得a2＝，b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1，即3x2－y2＝1.

(2)由得(3－k2)x2－2kx－2＝0，

由Δ>0，且3－k2≠0，得－<k<，且k≠±.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0.

又x1＋x2＝，x1x2＝，所以y1y2＝(kx1＋1)·(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，所以＋1＝0，解得k＝±1.