高中数学3.1变化率与导数当堂达标检测题

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课时提升作业 十八

变化率问题　导数的概念

一、选择题(每小题4分,共12分)

1.(2016·杭州高二检测)设函数y=f(x)=x2-1,当自变量x由1变为1.1时,函数的平均变化率为　(　　)

A.2.1    B.1.1    C.2    D.0

【解析】选A.===2.1.

2.(2016·洛阳高二检测)一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段

内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度

是　(　　)

A.-3    B.3    C.6    D.-6

【解析】选D.==-3Δt-6,

当Δt→0时,-3Δt-6→-6,

所以瞬时速度为-6.

3.设函数f(x)在x0处可导,则=　(　　)

A.f′(x0)   B.-f′(x0)   C.f(x0)   D.-f(x0)

【解析】选B.

==-f′(x0).

二、填空题(每小题4分,共8分)

4.某质点的运动方程为s=-2t2+1,则该质点从t=1到t=2时的平均速度为　　　　.

【解析】===-6.

5.(2016·佛山高二检测)一物体的运动方程为s=7t2+8,则其在t=　　　　时的瞬时速度为1.

【解析】==7Δt+14t0,

当(7Δt+14t0)=1时,t=t0=.

答案:

三、解答题

6.(10分)(2016·石家庄高二检测)一辆汽车按规律s=3t2+1做直线运动(时间单位:s,位移单位:m),求这辆汽车在t=3s时的瞬时速度.

【解析】设这辆汽车在3s到(3+Δt)s这段时间内的位移的增量为Δs,则

Δs=3·(3+Δt)2+1-28=3(Δt)2+18Δt,

所以=3Δt+18,

所以(3Δt+18)=18.

故这辆汽车在t=3s时的瞬时速度为18m/s.

【补偿训练】1.甲、乙两人走过的路程s1(t),s2(t)与时间t的关系如图所示,试比较两人的平均速度哪个大?

【解题指南】欲比较两人的平均速度,其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率,通过平均变化率的大小关系得出结论.

【解析】由图象可知s1(t0)=s2(t0),s1(0)>s2(0),

所以<,

所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大.

2.(1)计算函数f(x)=x2从x=1到x=1+Δx的平均变化率,其中Δx的值为:

①2;②1;③0.1;④0.01.

(2)思考:当Δx越来越小时,函数f(x)在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势?

【解析】(1)因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2-12=(Δx)2+2Δx,

所以==Δx+2.

①当Δx=2时,=Δx+2=4;

②当Δx=1时,=Δx+2=3;

③当Δx=0.1时,=Δx+2=2.1;

④当Δx=0.01时,=Δx+2=2.01.

(2)当Δx越来越小时,函数f(x)在区间上的平均变化率逐渐变小,并接近于2.

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.(2016·太原高二检测)物体的运动方程是s=-4t2+16t,在某一时刻的速度为零,则相应时刻为　(　　)

A.t=1    B.t=2    C.t=3    D.t=4

【解析】选B.=-8t+16,令-8t+16=0,得t=2.

2.(2016·菏泽高二检测)若f′(x0)=1,则=　(　　)

A.     B.-    C.1    D.-1

【解题指南】根据导数的定义求解.

【解析】选B.

=-

=-f′(x0)=-×1=-.

【误区警示】本题易对导数的概念不理解而误选成D.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.(2016·烟台高二检测)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图,在时间段,,上的平均速度分别为,,,则三者的大小关系为　　　　.

【解析】=kOA,=kAB,=kBC,由图象知kOA<kAB<kBC.

答案:<<

4.如图所示,水波的半径以1m/s的速度向外扩张,当半径为5m时,这水波面的圆面积的膨胀率是　　　m2/s.

【解题指南】求出在时刻t的水波面积,进而求出在时刻t0的瞬时膨胀率,代入半径求膨胀率.

【解析】因为水波的半径以v=1m/s的速度向外扩张,

水波面积S=πr2=π(vt)2=πt2,

所以水波面积在时刻t0时的瞬时膨胀率S′(t0)=2πt.

当半径为5m时,t=5s,所以S′(5)=2π·5=10π,

即半径为5m时,这水波面积的膨胀率是10π,

答案:10π

三、解答题

5.(10分)建造一栋面积为xm2的房屋需要成本y万元,y是x的函数,y=f(x)=++0.3,求f′(100),并解释它的实际意义.

【解题指南】根据导数的定义,求出函数值y在x=100时的瞬时变化率即可,最后由瞬时变化率解释f′(100)的意义.

【解析】根据导数的定义,得

f′(100)==

=

=

=

=0.105.

f′(100)=0.105表示当建筑面积为100m2时,成本增加的速度为1050元/m2,也就是说当建筑面积为100m2时,每增加1m2的建筑面积,成本就要增加1050元.

【补偿训练】如果一个质点从起点A开始运动,在时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3.

(1)当t1=4且Δt=0.01时,求Δy和.

(2)当t1=4时,求的值.

【解析】(1)Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-43-3

=(Δt)3+48Δt+12(Δt)2

=(0.01)3+48×(0.01)+12×(0.01)2

=0.481201.

所以==48.1201.

(2)当Δt→0时,=48.

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