选修1-1第三章 导数及其应用3.2导数的计算第2课时课后测评

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课时提升作业 二十一

导数的运算法则

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.关于x的函数f(x)=cosx+sina,则f′(0)等于　(　　)

A.0   B.-1   C.1   D.±1

【解析】选A.f′(x)=-sinx,f′(0)=0.

2.(2016·临沂高二检测)若曲线f(x)=xsinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a等于　(　　)

A.-2   B.-1   C.1   D.2

【解析】选D.f′(x)=sinx+xcosx,f′=1,

由题意得-=-1,

即a=2.

3.(2016·德州高二检测)函数y=(a>0)在x=x0处的导数为0,那么x0等

于　(　　)

A.a   B.±a   C.-a   D.a2

【解析】选B.y′=

==.

由=0,得x0=±a.

4.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点(1,3),则b的值为　(　　)

A.3   B.-3   C.5   D.-5

【解析】选A.由点(1,3)在直线y=kx+1上,得k=2,

由点(1,3)在曲线y=x3+ax+b上,得1+a+b=3,

即a+b=2,

y′=3x2+a,

由题意得3×12+a=2.

所以a=-1.

所以b=3.

5.(2016·武汉高二检测)正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是　(　　)

A.∪    B.[0,π)

C.      D.∪

【解析】选A.因为(sinx)′=cosx,

因为kl=cosx,所以-1≤kl≤1,

所以αl∈∪.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.(2016·滨州高二检测)在曲线y=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则P点坐标为　　　　.

【解析】设点P(x0,y0),y′=′=(4x-2)′=-8x-3,

所以tan135°=-1=-8,

所以x0=2.所以y0=1.所以P点坐标为(2,1).

答案:(2,1)

7.(2016·天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为　　　　.

【解题指南】求出f′(x),代入x=0即可.

【解析】因为f′(x)=(2x+3)ex,所以f′(0)=3.

答案:3

8.曲线y=xlnx在点(e,e)处的切线方程为　　　　.

【解析】因为y′=lnx+1,y′=2,

所以切线方程为y-e=2(x-e),即2x-y-e=0.

答案:2x-y-e=0

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx过点(1,5),其导函数y=f′(x)的图象如图所示,求f(x)的解析式.

【解题指南】本题主要考查利用导数求解参数问题,观察y=f′(x)的图象可知y=f′(x)过点(1,0),(2,0),即f′(1)=0,f′(2)=0.

【解析】f′(x)=3ax2+2bx+c,

又f′(1)=0,f′(2)=0,f(1)=5,故

解得a=2,b=-9,c=12.

故f(x)的解析式是f(x)=2x3-9x2+12x.

10.已知函数f(x)=的图象在点M(-1,f(-1))处的切线的方程为x+2y+5=0,求函数的解析式.

【解析】由于(-1,f(-1))在切线上,

所以-1+2f(-1)+5=0,所以f(-1)=-2.

因为f′(x)=,

所以

解得a=2,b=3(因为b+1≠0,所以b=-1舍去).

故f(x)=.

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.(2016·临沂高二检测)已知函数f(x)=x3+(b-|a|)x2+ (a2-4b)x是奇函数,则

f′(0)的最小值是　(　　)

A.-4    B.0    C.1    D.4

【解析】选A.由f(x)是奇函数,

得b-|a|=0,即b=|a|,

所以f(x)=x3+(b2-4b)x(b≥0),

f′(x)=3x2+(b2-4b),f′(0)=b2-4b=(b-2)2-4,

当b=2时,f′(0)取最小值-4.

2.(2016·广州高二检测)已知f(x)=x2+cosx,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(x)的大致图象是　(　　)

【解析】选A.因为f(x)=x2+cosx,所以f′(x)=-sinx.又因为f′(-x)=

-sin(-x)=-=-f′(x),

故f′(x)为奇函数,故函数f′(x)的图象关于原点对称,排除B、D,又因为

f′=×-sin=-<0,排除C.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=　　　　　.

【解析】y′=1+,则曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线斜率为k=f′(1)=1+1=2,故切线方程为y=2x-1.因为y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,联立得ax2+ax+2=0,显然a≠0,所以由Δ=a2-8a=0⇒a=8.

答案:8

【补偿训练】若f(x)=(2x+a)2,且f′ (2)=20,则a=　　　　.

【解析】f(x)=(2x+a)2=4x2+4ax+a2,f′(x)=8x+4a,

所以f′(2)=16+4a=20,所以a=1.

答案:1

4.(2015·太原高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=

2xf′(e)+lnx则f′(e)=　　　　.

【解析】因为f(x)=2xf′(e)+lnx,

所以f′(x)=2f′(e)+,所以f′(e)=2f′(e)+,

解得f′(e)=-.

答案:-

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.(2016·烟台高二检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数

f′(x)=2x-8.

(1)求a,b的值.

(2)设函数g(x)=exsinx+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程.

【解析】(1)因为f(x)=ax2+bx+3(a≠0),

所以f′(x)=2ax+b,

又知f′(x)=2x-8,

所以a=1,b=-8.

(2)由(1)可知g(x)=exsinx+x2-8x+3,

所以g′(x)=exsinx+excosx+2x-8,

所以g′(0)=e0sin0+e0cos0+2×0-8=-7,

又知g(0)=3.

所以曲线g(x)在x=0处的切线方程为y-3=-7(x-0),

即7x+y-3=0.

6.(2016·重庆高二检测)设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,

f′(2)=-b,其中常数a,b∈R.求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.

【解题指南】求出导函数,根据f′(1)=2a,f′(2)=-b求出a,b,最后将x=1分别代入原函数及导函数求出f(1)及切线斜率.

【解析】因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以f′(x)=3x2+2ax+b.

令x=1,得f′(1)=3+2a+b,又f′(1)=2a,

因此3+2a+b=2a,解得b=-3.

又令x=2,得f′(2)=12+4a+b,

又f′(2)=-b,因此12+4a+b=-b,解得a=-.

因此f(x)=x3-x2-3x+1,从而f(1)=-.

又f′(1)=2×=-3,

故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=-3(x-1),即6x+2y-1=0.

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