高中数学第一章 常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词同步达标检测题

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真命题的是(　　)

A．p∧q　　　　　　　　 B．p∨q

C．¬p D．¬p∧¬q

【解析】　命题p真，命题q假，所以“p∨q”为真．

【答案】　B

2．如果命题“¬(p∨q)”为假命题，则(　　)

A．p、q均为真命题

B．p、q均为假命题

C．p、q中至少有一个为真命题

D．p、q中至多有一个为假命题

【解析】　∵¬(p∨q)为假命题，∴p∨q为真命题，故p、q中至少有一个为真命题．

【答案】　C

3．由下列各组命题构成“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“¬p”为真的是(　　)

A．p：3为偶数，q：4是奇数

B．p：3＋2＝6，q：5＞3

C．p：a∈{a，b}；q：{a}{a，b}

D．p：QR；q：N＝N

【解析】　由已知得p为假命题，q为真命题，只有B符合．

【答案】　B

4．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：∈(A∪B)，则命题“¬p”是(　　)

A.∉A   B.∈(∁UA)∩(∁UB)

C.∈∁UB   D.∉(A∩B)

【解析】　由p：∈(A∪B)，可知¬p：∉(A∪B)，即∈∁U(A∪B)，而∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，故选B.

【答案】　B

5．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是(　　)

A．(¬p)∨q B．p∧q

C．(¬p)∧(¬q) D．(¬p)∨(¬q)

【解析】　由于命题p：所有有理数都是实数，为真命题，命题q：正数的对数都是负数，为假命题，所以¬p为假命题，¬q为真命题，故只有(¬p)∨(¬q)为真命题．

【答案】　D

二、填空题

6．设命题p：2x＋y＝3，q：x－y＝6，若p∧q为真命题，则x＝________，y＝________.

【解析】　由题意有

解得

【答案】　3　－3

7．命题“若a<b，则2a<2b”的否命题是____________，命题的否定是________.               【导学号：26160018】

【解析】　命题“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”，命题的否定是“若p，则¬q”．

【答案】　若a≥b，则2a≥2b　若a<b，则2a≥2b

8．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)＜0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是________．(填序号)

(1)p假，q真  (2)“p∨q”为真

(3)“p∧q”为真  (4)“¬p”为真

【解析】　p真，q假，故p∨q为真．

【答案】　(2)

三、解答题

9．写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题，并判断其真假：

(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；

(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解；

(3)p：集合中元素是确定的，q：集合中元素是无序的．

【解】　(1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．

∵q：梯形有一组对边相等是假命题，

∴命题p∧q是假命题．

p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．

∵p：梯形有一组对边平行是真命题，

∴命题p∨q是真命题．

¬p：梯形没有一组对边平行．

∵p是真命题，∴¬p是假命题．

(2)p∧q：－3与－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，是真命题．

p∨q：－3或－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，是真命题．

¬p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．

∵p是真命题，

∴¬p是假命题．

(3)p∧q：集合中的元素是确定的且是无序的，是真命题．p∨q：集合中的元素是确定的或是无序的，是真命题．

¬p：集合中的元素是不确定的，是假命题．

10．已知命题p：1∈{x|x2<a}，命题q：2∈{x|x2<a}．

(1)若“p或q”为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

【解】　若p为真，则1∈{x|x2<a}，

所以12<a，即a>1；

若q为真，则2∈{x|x2<a}，

所以22<a，即a>4.

(1)若“p或q”为真，则a>1或a>4，即a>1.故实数a的取值范围是(1，＋∞)．

(2)若“p且q”为真，则a>1且a>4，即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)．

[能力提升]

1．p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是(　　)

A．(0，－3)　　　　　　　B．(1,2)

C．(1，－1) D．(－1,1)

【解析】　要使“p∧q”为真命题，须满足p为真命题，q为真命题，既点P(x，y)既在直线上，也在曲线上，只有C满足．

【答案】　C

2．下列命题中的假命题是(　　)

A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1

C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R,2x＞0

【解析】　易知A，B，D项中均为真命题，对于C项，当x＝0时，x3＝0，C为假命题．

【答案】　C

3．已知条件p：(x＋1)2＞4，条件q：x＞a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

【解析】　由¬p是¬q的充分而不必要条件，可知¬p⇒¬q，但¬q¬p，又一个命题与它的逆否命题等价，可知q⇒p但pq，又p：x＞1或x＜－3，可知{x|x＞a}{x|x＜－3或x＞1}，所以a≥1.

【答案】　[1，＋∞)

4．设有两个命题，命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围.               【导学号：26160019】

【解】　对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集为∅，

所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.

解这个不等式，得－3<a<1.

对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，

则有a＋1>1，所以a>0.

又因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，

所以p，q必是一真一假．

当p真q假时，有－3<a≤0，当p假q真时，有a≥1.

综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．