高中数学人教版新课标A选修2-3第一章 计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计.第2课时同步练习题
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1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第2课时 两个计数原理的综合应用
A级 基础巩固
一、选择题
1.某同学逛书店,发现三本喜欢的书,决定至少买其中的一本,则购买方案有( )
A.3种 B.6种
C.7种 D.9种
解析:买一本,有3种方案;买两本,有3种方案;买三本有1种方案.因此共有方案:3+3+1=7(种).
答案:C
2.从1,2,3,4,5五个数中任取3个,可组成不同的等差数列的个数为( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:分两类:第一类,公差大于0,有以下4个等差数列:①1,2,3,②2,3,4,③3,4,5,④1,3,5;第二类,公差小于0,也有4个.根据分类加法计数原理可知,可组成的不同的等差数列共有4+4=8(个).
答案:D
3.从集合{1,2,3}和{1,4,5,6}中各取1个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中能确定不同点的个数为( )
A.12 B.11
C.24 D.23
解析:先在{1,2,3}中取出1个元素,共有3种取法,再在{1,4,5,6}中取出1个元素,共有4种取法,取出的2个数作为点的坐标有2种方法,由分步乘法计数原理知不同的点的个数有N=3×4×2=24(个).又点(1,1)被算了两次,所以共有24-1=23(个).
答案:D
4.要把3张不同的电影票分给10个人,每人最多一张,则有不同的分法种数是( )
A.2 160 B.720
C.240 D.120
解析:可分三步:第一步,任取一张电影票分给一人,有10种不同分法;第二步,从剩下的两张中任取一张,由于一人已得电影票,不能再参与,故有9种不同分法;第三步,前面两人已得电影票,不再参与,因而剩余最后一张有8种不同分法.所以不同的分法种数是10×9×8=720(种).
答案:B
5.用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数的个数是( )
A.20 B.16
C. 14 D.12
解析:因为四位数的每个位数上都有两种可能性(取2或3),其中四个数字全是2或3的不合题意,所以适合题意的四位数共有2×2×2×2-2=14(个).
答案:C
二、填空题
6.3位旅客投宿到1个旅馆的4个房间(每房间最多可住3人)有________种不同的住宿方法.
解析:分三步,每位旅客都有4种不同的住宿方法,因而共有不同的方法4×4×4=43=64(种).
答案:64
7.甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名,现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会,共有________种不同的推选方法.
解析:分为三类:
第一类,甲班选一名,乙班选一名,根据分步乘法计数原理,选法有3×5=15(种);
第二类,甲班选一名,丙班选一名,根据分步乘法计数原理,选法有3×2=6(种);
第三类,乙班选一名,丙班选一名,根据分步乘法计数原理,选法有5×2=10(种).
综合以上三类,根据分类加法计数原理,不同选法共有15+6+10=31(种).
答案:31
8.下图的阴影部分由方格纸上3个小方格组成,我们称这样的图案为L形,那么在由3×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案的个数为________(注:其他方向的也是L形).
解析:每四个小正方形图案都可画出四个不同的L形图案,该图中共有8个这样的小正方形.故可画出不同的位置的L形图案的个数为4×8=32.
答案:32
三、解答题
9.某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的共有28人,A型血的共有7人,B型血的共有9人,AB型血的共有3人.
(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法?
(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法?
解:从O型血的人中选1人有28种不同的选法,从A型血的人中选1人有7种不同的选法,从B型血的人中选1人有9种不同的选法,从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.
(1)任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,“任选1人去献血”这件事情都可以完成,所以用分类加法计数原理,不同的选法有28+7+9+3=47(种).
(2)要从四种血型的人中各选1人,即从每种血型的人中各选出1人后,“各选1人去献血”这件事情才完成,所以用分步乘法计数原理,不同的选法有28×7×9×3=5 292(种).
10.由1,2,3,4可以组成多少个自然数(数字可以重复,最多只能是四位数)?
解:组成的自然数可以分为以下四类:
第一类:一位自然数,共有4个;
第二类:二位自然数,又可分两步来完成.先取出十位上的数字,再取出个位上的数字,共有4×4=16(个);
第三类:三位自然数,又可分三步来完成.每一步都可以从4个不同的数字中任取一个,共有4×4×4=64(个);
第四类:四位自然数,又可分四步来完成.每一步都可以从4个不同的数字中任取一个,共有4×4×4×4=256(个).
由分类加法计数原理知,可以组成的不同的自然数为
4+16+64+256=340(个).
B级 能力提升
1.用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须全部使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有( )
A.36个 B.18个
C.9个 D.6个
解析:分3步完成,1,2,3这三个数中必有某一个数字被重复使用2次.
第1步,确定哪一个数字被重复使用2次,有3种方法;
第2步,把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法;
第3步,将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上,有2种方法.
故可组成的不同的四位数有3×3×2=18(个).
答案:B
2.把9个相同的小球放入编号为1,2,3的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有________种.
解析:分四类:第一个箱子放入1个小球,将剩余的8个小球放入2,3号箱子,共有4种放法;第一个箱子放入2个小球,将剩余的7个小球放入2,3号箱子,共有3种放法;第一个箱子放入3个小球,将剩余的6个小球放入2,3号箱子,共有2种放法;第一个箱子放入4个小球则共有1种放法.根据分类加法计数原理共有10种情况.
答案:10
3.某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的6个点A,B,C,A1,B1,C1上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种?
解:第一步,在点A1,B1,C1上安装灯泡,A1有4种方法,B1有3种方法,C1有2种方法,4×3×2=24,即共有24种方法.
第二步,从A,B,C中选一个点安装第4种颜色的灯泡,有3种方法.
第三步,再给剩余的两个点安装灯泡,共有3种方法,由分步乘法计数原理可得,安装方法共有4×3×2×3×3=216(种).
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