人教a版数学【选修1-1】作业：2.2.2双曲线的简单几何性质（含答案）

2.2.2　双曲线的简单几何性质

课时目标　1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．

1．双曲线的几何性质

2.直线与双曲线

一般地，设直线l：y＝kx＋m (m≠0)          ①

双曲线C：－＝1 (a>0，b>0)             ②

把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.

(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于________．

(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，

Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．

Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交；

Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切；

Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．

一、选择题

1．下列曲线中离心率为的是(　　)

A．－＝1                 B．－＝1

C．－＝1                 D．－＝1

2．双曲线－＝1的渐近线方程是(　　)

A．y＝±x                  B．y＝±x

C．y＝±x                 D．y＝±x

3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的方程为(　　)

A．2x2－4y2＝1              B．2x2－4y2＝2

C．2y2－4x2＝1              D．2y2－4x2＝3

4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x               B．y＝±2x

C．y＝±x               D．y＝±x

5．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有(　　)

A．1条          B．2条        C．3条           D．4条

6．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)

A.         B.        C．2          D.

二、填空题

7．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e＝______.

8．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程是________________．

9．与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，2)的双曲线方程为__________．

三、解答题

10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．

(1)经过点，且一条渐近线为4x＋3y＝0；

(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.

11．设双曲线x2－＝1上两点A、B，AB中点M(1，2)，求直线AB的方程．

能力提升

12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)

A．             B．

C．          D．

13．设双曲线C：－y2＝1 (a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；

（2）若设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．

1．双曲线－＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a.

2．双曲线的离心率e＝的取值范围是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且＝，离心率e越大，双曲线的开口越大．可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．

3．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，也可记为－＝0；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为－＝λ (λ≠0)．

2．2.2　双曲线的简单几何性质

答案

知识梳理

1.

2.(1)一点　(2)两个　一个　没有

作业设计

1．B　[∵e＝，∴e2＝＝，∴＝.]

2．A

3．C　[由于椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为，

则双曲线的焦点坐标为，又由渐近线方程为y＝x，得＝，即a2＝2b2，又由2＝a2＋b2，得a2＝，b2＝，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x2＝1.故选C.]

4．C　[由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y＝±x.]

5．C　[点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]

6．B　[||PF1|－|PF2||＝2a，即3|PF2|＝2a，

所以|PF2|＝≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3c，

则≤.]

7.

解析　a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3.

又a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝，从而e＝＝.

8.－＝1(x>3)

解析　以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为－＝1(x>3)．

9.－＝1

解析　∵所求双曲线与双曲线－＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为

－＝λ (λ≠0)．∵点(－3,2)在双曲线上，

∴λ＝－＝.

∴所求双曲线的方程为－＝1.

10．解　(1)因直线x＝与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为－＝1，

由

解得故所求的双曲线方程为－＝1.

(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x轴上．

因为PF1⊥PF2，且|OP|＝6，

所以2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以c＝6.

又P与两顶点连线夹角为，

所以a＝|OP|·tan＝2，

所以b2＝c2－a2＝24.

故所求的双曲线方程为－＝1.

11．解　方法一　(用韦达定理解决)

显然直线AB的斜率存在．

设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，

即y＝kx＋2－k，由

得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0，

当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则1＝＝，

∴k＝1，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.

方法二　(用点差法解决)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，

两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．

∵x1≠x2，∴＝，

∴kAB＝＝1，

∴直线AB的方程为y＝x＋1，

代入x2－＝1满足Δ>0.

∴直线AB的方程为y＝x＋1.

12. D

　[设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为

y＝x，

而kBF＝－，

∴·(－)＝－1，

整理得b2＝ac.

∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，

解得e＝或e＝(舍去)．]

13．解　(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得有两个不同的解，

消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①

∴

解得－<a<且a≠±1.

又∵a>0，∴0<a<且a≠1.

∵双曲线的离心率e＝＝ ，

∴0<a<，且a≠1，∴e>且e≠.

∴双曲线C的离心率e的取值范围是

∪(，＋∞)．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．

∵ ＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，

由此可得x1＝x2.∵x1，x2都是方程①的根，

且1－a2≠0，∴x1＋x2＝x2＝－，

x1x2＝x＝－，消去x2得－＝，

即a2＝.

又∵a>0，∴a＝.