高中数学人教版新课标A选修2-31.3二项式定理达标测试

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于(　　)

A．(x－1)3　　　　　　 B．(x－2)3

C．x3   D．(x＋1)3

【解析】　S＝[(x－1)＋1]3＝x3.

【答案】　C

2．已知7 的展开式的第4项等于5，则x等于(　　)

A.   B．－

C．7   D．－7

【解析】　T4＝Cx43＝5，则x＝－.

【答案】　B

3．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　)

A．3   B．6

C．9   D．12

【解析】　x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C×2＝6.

【答案】　B

4．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)

A．4   B．5

C．6   D．7

【解析】　Tr＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－rxn－r，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．

【答案】　B

5．(x2＋2)5的展开式的常数项是(　　)

A．－3   B．－2

C．2   D．3

【解析】　二项式5展开式的通项为：Tr＋1＝

C5－r·(－1)r＝C·x2r－10·(－1)r.

当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·Cx－2·(－1)4＝C×(－1)4＝5；

当2r－10＝0，即r＝5时，有2·Cx0·(－1)5＝－2.

∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.

【答案】　D

二、填空题

6．(2016·安徽淮南模拟)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．

【解析】　由题意知，C＝C，∴n＝8.

∴Tk＋1＝C·x8－k·k＝C·x8－2k，当8－2k＝－2时，k＝5，∴的系数为C＝56.

【答案】　56

7．设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．

【解析】　对于Tr＋1＝Cx6－r(－ax－)r＝C(－a)r·x6－r，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a>0，

∴a＝2.

【答案】　2

8．9192被100除所得的余数为________．

【解析】　法一：9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…＋C992，

展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．

∵992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，

前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.

法二：9192＝(90＋1)92＝C·9092＋C·9091＋…＋C·902＋C·90＋C.

前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.

【答案】　81

三、解答题

9．化简：S＝1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC(n∈N*)．

【解】　将S的表达式改写为：S＝C＋(－2)C＋(－2)2C＋(－2)3C＋…＋(－2)nC＝[1＋(－2)]n＝(－1)n.

∴S＝(－1)n＝

10．(2016·淄博高二检测)在6的展开式中，求：

(1)第3项的二项式系数及系数；

(2)含x2的项．

【解】　(1)第3项的二项式系数为C＝15，

又T3＝C(2)42＝24·Cx，

所以第3项的系数为24C＝240.

(2)Tk＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k，令3－k＝2，得k＝1.

所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.

[能力提升]

1．(2016·吉林长春期末)若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为(　　)

A．x＝4，n＝3   B．x＝4，n＝4

C．x＝5，n＝4   D．x＝6，n＝5

【解析】　Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅C适合．

【答案】　C

2．已知二项式n的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(1－x)n中x2项的系数为(　　)

A．－19　　　 B．19  C．20　　　 D．－20

【解析】　n的通项公式为Tr＋1＝C()n－r·r＝Cx－，由题意知－＝0，得n＝5，则所求式子中的x2项的系数为C＋C＋C＋C＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.

【答案】　C

3．对于二项式n(n∈N*)，有以下四种判断：

①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是________．

【解析】　二项式n的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx4r－n，由通项公式可知，当n＝4r(r∈N*)和n＝4r－1(r∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．

【答案】　①与④

4．求5的展开式的常数项. 【导学号：97270023】

【解】　法一：由二项式定理得5＝5＝C·5＋C·4·＋C·3·()2＋C·2·()3＋C··()4＋C·()5.

其中为常数项的有：

C4·中的第3项：CC·2·；

C·2·()3中的第2项：CC··()3；展开式的最后一项C·()5.

综上可知，常数项为CC·2·＋CC··()3＋C·()5＝.

法二：原式＝5

＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5，所以所求的常数项为＝.