初中数学鲁教版 (五四制)七年级上册第二章 轴对称综合与测试巩固练习

第二章达标检测卷

一、选择题(本大题共12道小题，每小题3分，共36分)

1．下面所给的图形是轴对称图形的是(　　)

2．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角(即∠1＝∠2，∠3＝∠4)．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2 020次碰到长方形边上的点为图中的(　　)

A．A点   B．B点   C．C点   D．D点

3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C＝20°，则∠B′的度数为(　　)

A．110°   B．70°   C．90°   D．30°

4．下列说法正确的是(　　)

A．等腰三角形的一个角的平分线是它的对称轴

B．有一个内角是60°的三角形是轴对称图形

C．等腰直角三角形是轴对称图形，它的对称轴是斜边上的中线所在的直线

D．等腰三角形有3条对称轴

5．如图，A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在(　　)

A．AC，BC两边上的高的交点处      B．AC，BC两边上的中线的交点处

C．AC，BC两边垂直平分线的交点处  D．∠A，∠B两内角平分线的交点处

6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为(　　)

A．48°    B．36°     C．30°     D．24°

7．小明和哥哥并排站在镜子前，小明看到镜子中哥哥的球衣号码如图所示，那么哥哥球衣上的号码实际是(　　)

A．25     B．52     C．55      D．22

8．如图，将长方形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD按箭头方向向下对折，然后剪下一个小三角形．将纸片打开，则打开后的图形是(　　)

9．如图，等腰三角形ABC的周长为21，底边BC的长为5，腰AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则△BEC的周长为(　　)

A．11     B．12    C．13       D．14

10．如图所示的轴对称图形中，对称轴的总数量是(　　)

A．16条  B．15条  C．14条    D．13条

11．如图，3×3方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有(　　)

A．1个   B．2个   C．3个    D．4个

12．如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为(　　)

A．50°   B．60°   C．70°      D．80°

二、填空题(本大题共6道小题，每小题3分，共18分)

13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，动点P在边AB上运动(不与端点重合)，点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2.则在点P的运动过程中，线段P1P2的长的最小值是________．

14．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，腰AB上的高与AC的夹角为40°，则该等腰三角形顶角的度数为____________．

15．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线．点P是EF上的动点，则|PA－PB|的最大值为________．

16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E，F为AD上的两点，若△ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积是________．

17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交边BC于点D，如果BD＝2，AC＝7，那么△ADC的面积等于________．

18．如图，∠ABC＝30°，点D是∠ABC内的一点，且DB＝9，若点E，F分别是射线BA，BC上异于点B的动点，则△DEF的周长的最小值是________．

三、解答题(本大题共7道小题，19－21题每题8分，22－24题每题10分，25题12分，共66分)

19．作图题：(不写画法，保留作图痕迹)

如图，在小河的同旁有甲、乙两个村庄，现计划在河岸AB上建一个水泵站，向甲、乙两村供水，用以解决村民用水问题．

(1)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的距离相等，请你在图①中，确定水泵站M在河岸AB上建造的位置；

(2)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的供水管道使用的材料最省，请你在图②中，确定水泵站M在河岸AB上建造的位置．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE.求∠CDE的度数．

21．如图，在等边三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，作BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F.小明说：“E，F是BC的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明理由．

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE＝CE.试说明：

(1)△AEF≌△CEB；

(2)∠ABF＝2∠FBD.

23．如图，在四边形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，垂足为点O.

(1)四边形ABCD是不是轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？

(2)图中有哪些相等的线段？

(3)作出点O到∠BAD两边的垂线段，并说明它们的大小关系．

24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.

(1)当∠BDA＝115°时，∠BAD＝________°，∠DEC＝________°，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变________．(填“大”或“小”)

(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．

(3)在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形的情形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数；若不存在，请说明理由．

25．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC.

(1)求∠APO＋∠DCO的度数；

(2)试说明：AC＝AO＋AP.

答案

一、1.A　2.D

3．A　【点拨】因为△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，所以∠B′＝∠B.

因为∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－50°－20°＝110°，所以∠B′＝110°.

4．C　5.C　6.A　7.A　8.D　9.C

10．B　【点拨】图①有4条对称轴，图②有3条对称轴，图③有4条对称轴，图④有4条对称轴，所有图形共有15条对称轴．

11．C　【点拨】将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形如图所示，共有3个．

12．D　【点拨】如图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，连接AE，AF，则A′A″的长即为△AEF的周长的最小值．连接AC.

因为∠ABC＋∠BCA＋∠BAC＝180°，∠ADC＋∠DCA＋∠DAC＝180°，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，∠BCA＋∠DCA＝50°，

所以∠BAC＋∠DAC＝130°，即∠DAB＝130°.

所以∠A′＋∠A″＝180°－∠DAB＝50°.

又易知∠A′＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，

所以∠EAA′＋∠A″AF＝50°.

所以∠EAF＝130°－50°＝80°.

二、13.9.6　【点拨】如图所示，连接CP.

因为点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2，

所以P1C＝PC＝P2C.

所以线段P1P2的长等于2CP.

当CP⊥AB时，CP的长最小，此时线段P1P2的长最小．

因为∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，

所以CP＝＝4.8.

所以线段P1P2的长的最小值是9.6.

14．50°或130°　【点拨】当顶角为锐角时，如图①，CD⊥AB，∠CDA＝90°，∠ACD＝40°，

所以∠A＝90°－∠ACD＝90°－40°＝50°；当顶角为钝角时，如图②，CE⊥AB交BA的延长线于点E，∠CEA＝90°，∠ACE＝40°，

所以∠CAE＝90°－∠ACE＝90°－40°＝50°.

所以∠BAC＝180°－50°＝130°.

15．3　【点拨】如图，延长BA交EF于P′，此时|PA－PB|的值最大， 则|P′A－P′B|＝AB＝3.

16．6　【点拨】因为AB＝AC，AD⊥BC，

所以△ABC关于直线AD对称．

所以S△BEF＝S△CEF.

因为△ABC的面积为12，

所以图中阴影部分的面积＝S△ABC＝6.

17．7　【点拨】过点D作DE⊥AC于点E.

因为AD平分∠BAC，所以DE＝BD＝2.

所以S△ADC＝AC·DE＝×7×2＝7.

18．9　【点拨】如图所示，作D关于BA，BC的对称点M，N.

连接BM，BN，MN，则当E，F是MN与BA，BC的交点时，△DEF的周长最短，最短的值是MN的长．

因为D，M关于BA对称，

所以BM＝BD，∠ABM＝∠ABD.

同理可得∠NBC＝∠DBC，BN＝BD.

所以∠MBN＝2∠ABC＝60°，BM＝BN.

所以△BMN是等边三角形．

所以MN＝BM＝BD＝9.

所以△DEF的周长的最小值是9.

三、19.解：(1)如图①所示．

(2)如图②所示．

20．解：因为AB＝AC，AD⊥BC，

所以AD平分∠BAC.

所以∠CAD＝∠BAD＝40°.

因为AD＝AE，

所以∠ADE＝(180°－∠CAD)＝70°.

因为AD⊥BC，

所以∠ADC＝90°.

所以∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝90°－70°＝20°.

21．解：同意．理由如下：

如图，连接OE，OF.

由题意，知BE＝OE，CF＝OF，∠OBC＝∠OCB＝30°，

所以∠BOE＝∠OBC＝30°，∠COF＝∠OCB＝30°，∠BOC＝120°.

易得∠EOF＝60°，∠OEF＝60°，∠OFE＝60°.

所以△OEF是等边三角形．

所以OE＝OF＝EF.所以EF＝BE＝CF.

所以E，F是BC的三等分点．

22．解：(1)因为AD⊥BC，CE⊥AB，

所以∠AEF＝∠CEB＝90°，∠AFE＋∠EAF＝90°，∠CFD＋∠ECB＝90°.

又因为∠AFE＝∠CFD，

所以∠EAF＝∠ECB.

在△AEF和△CEB中，

所以△AEF≌△CEB(ASA)．

(2)由△AEF≌△CEB，得EF＝EB，

所以∠EBF＝∠EFB.

在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，

所以BD＝CD.所以FB＝FC.

所以∠FBD＝∠FCD.

因为∠EFB＝180°－∠BFC＝∠FBD＋∠FCD＝2∠FBD，

所以∠EBF＝2∠FBD，

即∠ABF＝2∠FBD.

23．解：(1)四边形ABCD是轴对称图形，对称轴是AC所在直线和BD所在直线．

(2)相等的线段有：AB＝BC＝CD＝AD，AO＝OC，OB＝OD.

(3)如图，分别过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥AB于点F.

易知AO平分∠BAD，

又因为OE⊥AD，OF⊥AB，

所以OE＝OF.

24．解：(1)25；115；小

(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE.

理由如下：

因为DC＝2，AB＝2，

所以DC＝AB.

因为AB＝AC，∠B＝40°，

所以∠C＝∠B＝40°.

因为∠ADB＝180°－∠ADC＝∠DAC＋∠C，∠DEC＝180°－∠AED＝∠DAC＋∠ADE，且∠C＝40°，∠ADE＝40°，

所以∠ADB＝∠DEC.

在△ABD和△DCE中，

所以△ABD≌△DCE(AAS)．

(3)存在．∠BDA＝110°或∠BDA＝80°.

25．解：(1)连接BO，如图①所示．

因为AB＝AC，AD⊥BC，

所以BD＝CD.

所以OB＝OC.

所以∠DBO＝∠DCO.

又因为OP＝OC，

所以OB＝OP.

所以∠APO＝∠ABO.

所以∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABC.

因为∠BAC＝120°，AB＝AC，

所以∠ABC＝∠ACB＝30°，

所以∠APO＋∠DCO＝30°；

(2)过点O作OH⊥BP于点H，如图②所示．

因为∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC，

所以∠HAO＝∠CAD＝60°.

又因为OH⊥BP，

所以∠OHA＝90°.

所以∠HOA＝30°.

所以AO＝2AH.

因为BO＝PO，OH⊥BP，

所以BH＝PH.

又因为HP＝AP＋AH，

所以BH＝AP＋AH.

又因为AB＝BH＋AH，

所以AB＝AP＋2AH.

又因为AB＝AC，AO＝2AH，

所以AC＝AP＋AO.