高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理本章综合与测试教学课件ppt

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理本章综合与测试教学课件ppt，共28页。PPT课件主要包含了“多面手”问题，组数问题，分组分配问题，涂色问题等内容，欢迎下载使用。

　　有关计数问题在考试中经常直接和间接的考查，其命题常以实际问题为背景，考查排列组合的综合应用，如均分或不均分问题，特殊元素或位置问题、相邻或不相邻问题等.求解的策略是先组合后排列，同时按元素的性质分类或按事情的发生过程分步，必要时可构造模型，或画树形图求解.
例1　某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？
解　由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.方法一　分两类.第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法.此时共有6×3＝18(种)选法.第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法.所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法.
方法二　设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语.第一类：甲入选.(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6(种)选法.故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种).
第二类：甲不入选.可分两步.第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法.由分步乘法计数原理，有6×2＝12(种)不同的选法.综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法.
用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示
具体意义如下：从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示.所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可.
二、“相邻”与“不相邻”问题
例2　把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有____种.
解析　记其余两件产品为D，E.将A，B视为一个元素，先与D，E进行排列，
解排列组合问题时常以元素(或位置)为主体，即先考虑特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素，再对取出的元素进行排列.
三、含“至多”“至少”的问题
例3　某校举办诗歌朗诵比赛，该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为A.720 B.768 C.810 D.816
则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加的情况有840－24＝816(种)；
则满足题意的朗诵顺序有816－48＝768(种).故选B.
求解含有附加条件的计数问题的两种方法通常选用直接法或间接法，解题时应注意对“至少”“至多”“恰好”等词的含义的理解.对于涉及“至少”“至多”等词的计数问题，既可以从反面情形考虑，即间接求解，也可以通过分类讨论直接求解.
例4　有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
解　方法一　(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：
又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，
例5　将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有______种.(用数字作答)
解析　把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2类.第一类，采用“3,1,1,1”的分法，即有1组3本，其余3组每组1本.
第二类，采用“2,2,1,1”的分法，即有2组每组2本，其余2组每组1本.
所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种).
本题属于局部均分问题，解题时需注意，若有m组元素个数相等，则分组时应除以 ，分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数.
例6　6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数.(1)每个盒子都不空；
解　先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，
(2)恰有一个空盒子；
解　恰有一个空盒子，插板分两步进行.
然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，
(3)恰有两个空盒子.
解　恰有两个空盒子，插板分两步进行.
如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.
相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”，每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法，隔板法专门解决相同元素的分配问题.
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有　　种方法，可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块板.
例7　如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色.现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有____种.(用数字作答)
解析　方法一　(以位置为主考虑)第一步涂①，有4种着色方法.第二步涂②，有3种着色方法.第三步涂③，有2种着色方法.第四步涂④时分两类，第一类用余下的颜色，有1种着色方法，第五步涂⑤，有1种着色方法；第二类④与②同色，有1种着色方法，第五步涂⑤，有2种着色方法.所以不同的着色方法共有4×3×2×(1×1＋1×2)＝72(种).
方法二　(以颜色为主考虑)分两类.
所以共有着色方法48＋24＝72(种).