高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念学案

4.1数列的概念（1）  导学案

1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.

2.掌握数列的分类.

3.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法.

4.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.

重点：数列的有关概念与数列的表示方法

难点：数列的函数特征

一、数列

1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.

2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.

3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.

点睛：(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.

数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,

例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.

(2)符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.

二、数列的分类

三、数列与函数

数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，

其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，

记为an＝f(n)．

另一方面，对于函数y＝f(x)，

如果f(n)(n∈N*)有意义，

那么                  构成了一个数列{f(n)}．

f(1)，f(2)，…，f(n)，…

四、数列的通项公式

      如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

点睛：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式.

(2)并不是所有的数列都有通项公式.

(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列

-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos nπ等.

1. 下列叙述正确的是(　　)

A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类

B.数列中的数由它的位置序号唯一确定

C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}

D.同一个数在数列中不可能重复出现

2.若数列{an}的通项公式是an=n2-1,则该数列的第10项a10=　　　　　,224是该数列的第　　　　　项. 

一、情景导学

古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长”

如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量,

则每日的高度值按日期排在一起,可组成一个数列.

那么什么叫数列呢?

二、问题探究

1. 王芳从一岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数：

75,87,96,103,110,116,120,128,138，

145,153,158,160,162,163,165,168                      ①

记王芳第的身高为 ，那么=75 , =87, =168.我们发现中的反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即=75 是排在第1位的数，=87是排在第2位的数 =168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置，所以①具有确定顺序的一列数。

2. 在两河流域发掘的一块泥板（编号K90，约生产于公元

前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天，

每天月亮可见部分的数：

5,10,20,40,80,96,112,128,

144,160,176,192,208,224,240.             ②
记第月亮可见部分的数为 , 那么=5 , =10, =240.这里，中的反映了月亮可见部分的数按日期从1~15顺序排列时的确定位置，即=5是排在第1位的数，=10是排在第2位的数 =240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置，所以，②也是具有确定顺序的一列数。

3. -次幂按1次幂， 2次幂, 3次幂, 4次幂……依次排成一列数：

- ， ，- ， …                    ③

思考：你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？

三、典例解析

例1. 根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项,并画出它们的图像.
（1）     （2）

例2. 根据数列的前4项,写出下列数列的一个通项公式:

(1),2,,8,,…;        (2)1,-3,5,-7,9,…;

(3)9,99,999,9 999,…;       (4),…;

(5)-,-,…;

(6)4,0,4,0,4,0,….

根据数列的前几项写通项公式的具体思路为:

(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.

(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系.

(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号.

(4)对于周期出现的数列,考虑利用周期函数的知识解答.

2.常见数列的通项公式

(1)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是an=(-1)n,数列1,-1,1,-1,…

的一个通项公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.

(2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.

(3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.

(4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.

(5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.

(6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.

(7)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是an=.

(8)数列1,,…的一个通项公式是an=.

跟踪训练1.写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:

(1)1,;  (2)2,4,6,8;

(3)3,5,9,17; (4);

(5)7,77,777,7 777.

例3 (1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N*.

①数列中有哪些项是负数?

②当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.

(2)已知数列{an}的通项公式an=(n+1)(n∈N*),试问数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.

求数列的最大(小)项的两种方法

(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.

(2)可以利用不等式组(n>1)找到数列的最大项;

利用不等式组(n>1)找到数列的最小项.

变式探究：在本例(2)中,若已知数列的通项公式an=,n∈N*,试求该数列{an}的最小项.

1.下列各项表示数列的是(　　)

A.△,○,☆,□

B.2 008,2 009,2 010,…,2 017

C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

D.a+b,a-b,ab,λa

2.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是(　　)

A.1,2,3,…,20

B.-1,-2,-3,…,-n,…

C.1,2,3,2,5,6,…

D.-1,0,1,2,…,100,…

3. 观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有　　　　　小圆圈. 

4.已知数列{an}的通项公式为an=log3(2n+1),则a3=　　　　　. 

5.已知数列,…,则5是该数列的第　　　　　项. 

6.在数列{an}中,已知an=(n∈N*).

(1)写出a10,an+1.

(2)79是不是该数列中的项?如果是,是第几项?

7.已知数列{an}的通项公式an=(k∈R).

(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;

(2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.

数列的概念与表示

参考答案：

知识梳理

1. 解析:按项的变化趋势,数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,如2,2,2,…表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列,数列中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.

答案:B

2.解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,

即224是该数列的第15项.

答案:99　15

学习过程

一、    典例解析

例1.解:（1）当通项公式中的n=1，2，3，4，5 时，数列{an}的前5项依次为

1,3,6,10,15
如图所示(1)

（2）当通项公式中的n=1，2，3，4，5 时，数列 {an}的前5项依次为

    1,0,-1,0,1

如图所示(2)

例2. 解:(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察,,…,所以,它的一个通项公式为an=.

(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).

(3)各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,…,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.

(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合得原数列的一个通项公式为an=.

(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n·.

(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即an=又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示为an=2+2×(-1)n+1.

跟踪训练1.解:(1)an=;(2)an=2n+;(3)an=2n+1;

(4)an=;(5)an=(10n-1).

例3 分析:(1)①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出.

(2)数列{an}的通项计算an+1-an确定单调性求解最大(小)项

(1)解:①an=n2-5n-6<0,解得0<n<6.

∵n∈N*,∴数列中第1,2,3,4,5项为负数,

即-10,-12,-12,-10,-6.

②an=n2-5n-6=,当n=2,3时,an取得最小值,最小值为-12.

(2)解法一:∵an+1-an=(n+2)-(n+1)

=,

∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;

当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;

当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.

故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,

∴数列中有最大项,最大项为第9,10项,

即a9=a10=.

解法二:设ak是数列{an}的最大项,

则

整理,得得9≤k≤10,

所以k=9或k=10.又a1=<a9=a10,即数列{an}中的最大项为a9=a10=.

变式探究：解:设第n项an最小,则

即解得

所以5≤n≤6,所以n=5或n=6.又a1=>a5=a6,

即a5与a6都是数列的最小项,且a5=a6=.

达标检测

1.解析:数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有B项符合.

答案:B

2.解析:由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.

答案:D

3. 分析:仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.

解析:观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,…,故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.

答案:n2-n+1

4.解析:观察可得数列的一个通项公式是an=,而5,所以5是该数列的第19项.

答案:19

5.解析:∵an=log3(2n+1),∴a3=log3(23+1)=log39=2.

答案:2

6.解:(1)a10=;

an+1=.

(2)令an==79,解得n=15(n=-16舍去),所以79是该数列中的项,并且是第15项.

7.分析:对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;

对于(2),可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.

解:(1)当k=1时,an=,所以an+1=,

所以an+1-an=>0,

故数列{an}是递增数列.

(2)若数列{an}是递减数列,则an+1-an<0恒成立,

即an+1-an=<0恒成立.

因为(2n+5)(2n+3)>0,所以必有3k<0,故k<0.