数学选择性必修 第二册4.1 数列的概念学案设计

这是一份数学选择性必修 第二册4.1 数列的概念学案设计，共10页。学案主要包含了新知探究，典例解析等内容，欢迎下载使用。
4.2.1 等差数列的概念（1）  导学案 1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式及应用3.掌握等差数列的判定方法重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用 难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定 1．等差数列的概念文字语言如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.3.从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．(    )(2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．(    )(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．(   )2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数， 则这个数列是等差数列． (　　)(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关． (　　) (3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(       )3．在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝(　　)A．22　  B．24　　　C．26　　　D．284．如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为(　　)A．－1       B．1         C．3         D．4一、    学习导引        我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性，奇偶性等）后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。 二、新知探究1.北京天坛圜丘坛，的地面有十板布置，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的示板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81               ①2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码分别是38,40,42,44,46,48                               ②3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位）依次为25,24,23,22,21                                       ③4.某人向银行贷款万元，贷款时间为年，如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为,       ④        在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？   思考1：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 思考2：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？  三、典例解析例1.（1）已知等差数列的通项公式为求公差和首项；（2）求等差数列8,5,2…的第20项。  求通项公式的方法(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．(2)已知等差数列中的两项，可用d＝直接求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d写出通项公式．(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解．跟踪训练1．(1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.(2)已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. 例2 (1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________．(2)已知，，是等差数列，求证：，，也是等差数列．  等差中项应用策略1.求两个数x，y的等差中项，即根据等差中项的定义得A＝.2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列.跟踪训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列． 1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列(　　)A．是公差为－3的等差数列                 B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列                 D．是公差为n的等差数列2．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)A．8　    B．12　　　C．16　　　D．243．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为______．4.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝____.5．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式． 参考答案：知识梳理1. ×; ×; √2．解析： (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列． [答案]　(1)×　(2)√　(3)√3．D　[a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故选D.]4．D　[由条件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4.故应选D.] 学习过程二、    新知探究思考1： 设一个等差数列的首项为,公差为,根据等差数列的定义，可得= 所以= , = , = ,…于是  + ,+ =(+ ) + + 2,+ =(+ ) + + 3,……归纳可得+() (n)当n时，上式为+() ，这就是说,上式当时也成立。因此，首项为,公差为的等差数列的通项公式为+()  思考2： [提示]　还可以用累加法，过程如下：∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d(n≥2)，将上述(n－1)个式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．三、    典例解析例1. 分析（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由= ，即可求出公差，（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项解：（1）当 的通项公式为，可得 .于是=()-()=2.把代入通项公式，可得（2）由已知条件，得把 代入+() ,得()=11 把代入上式，得11 所以，这个数列的第20项是跟踪训练1．解：(1)设等差数列{an}的公差为d.∵a5＝10，a12＝31，则解得∴这个等差数列的首项a1＝－2，公差d＝3. (2)　法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得解得故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝＝，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b.由a15＝8，a60＝20得解得∴a75＝75×＋4＝24.例2[思路探究]　(1)―→―→(2)  (1)6　[由题意得∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴＝6.](2)[证明]　∵，，成等差数列，∴＝＋，即2ac＝b(a＋c)．∵＋＝＝＝＝＝，∴，，成等差数列．跟踪训练2[解]　∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.∴该数列为：－1，1，3，5，7. 达标检测1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列(　　)A．是公差为－3的等差数列                 B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列                 D．是公差为n的等差数列 A　[等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．对比an＝－3n＋5.故公差为－3.故选A.] 2．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)A．8　    B．12　　　C．16　　　D．24C　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由a2＝2，a5＝8，得解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.故选C.]3．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为______．　[＝＝＝.]4.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝____.解析：(方法一)设an＝a1＋(n－1)d，则即解得∴an＝－2n＋21(n∈N*)．∴a10＝－2×10＋21＝1.(方法二)设公差为d，∵a8＝a5＋(8－5)×d，∴d＝＝－2，∴a10＝a8＋(10－8)×d＝1.(方法三)设an＝An＋B，则即解得∴an＝－2n＋21，∴a10＝1.5．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．[解]　由题意得∴解得∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.故数列{an}的通项公式为an＝2n.