高中4.1 数列的概念学案设计

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4.3.1等比数列的概念 (1)   导学案 1. 理解等比数列及等比中项的概念．2．掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题．重点：等比数列及等比中项的概念 难点：等比数列的函数特征及综合运用 等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示(显然 )． 符号语言：       2.等比中项：1．下列数列为等比数列的是(　　)A．m，m2，m3，m4，…B．22,42,62,82，…C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…D．，，，，…2．方程x2－5x＋4＝0的两根的等比中项是(　　)A．          B．±2        C．±          D．2 一、    新知探究     我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数” 。类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:                            ①             ②                              ③2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是                                                 ④3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是                                 2,4,8,16,32,64,…                                     ⑤4.某人存入银行元，存期为5年，年利率为 ，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是           ⑥如果用 {an} 表示数列①，那么有      其余几个数列也有这样的取值规律吗？，请你试着写一写。 探究1   类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 等差数列的概念文字语言如果一个数列从第__项起，每一项与它的______的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个____叫做等差数列的公差，公差通常用字母__表示符号语言an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)2 ；前一项 ；同一个常数 ；常数 ；d 探究2   类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？                                     ． 探究3：在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，通过类比，我们在等比数列中有什么相应的概念？如何定义？  探究4.  你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？  请你回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如何推导通项公式？ 探究. 5在等差数列中，公差的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系？   探究6：类比指数函数的性质，你能说说公比的等比数列的单调性吗？()  二、典例解析例1. 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项. 例2  已知等比数列的公比为，试用的第项表示. 1．在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．2．等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示. 跟踪训练1 在等比数列{an}中，(1)若a2＝4，a5＝－，求an；(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 例3.  数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列.  跟踪训练2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 1．已知{an}是等比数列，a1＝4，公比q＝，则a5＝(　　)A．           B．        C．          D．2．设an＝(－1)n(n∈N*)，则数列{an}是(　　)A．等比数列                   B．等差数列C．递增数列                   D．递减数列3．若各项均为正数的等比数列{an}满足a3＝3a1＋2a2，则公比q＝(　　)A．1         B．2           C．3        D．44.若数列－1，a，b，c，－9成等比数列，则实数b的值为(　　)A．－3        B．3          C．±3           D．不能确定5．在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16.求{an}的通项公式． 参考答案：知识梳理1．D　解析：当m＝0，q＝1时，A，C均不是等比数列；≠，所以B不是等比数列．2．B　解析：设方程的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系，得x1x2＝4，∴两根的等比中项为±＝±2.学习过程一、    新知探究探究4.  设一个等差数列的首项为,公差为,根据等差数列的定义，可得= 所以= , = , = ,…于是  + ,+ =(+ ) + + 2,+ =(+ ) + + 3,……归纳可得+() (n)当n时，上式为+() ，这就是说,上式当时也成立。因此，首项为,公差为的等差数列的通项公式为+()  请你回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如何推导通项公式？设一个等比数列的为,根据等比数列的定义，可得所以 , =( ) ,=()                        ……归纳可得(n)又，这就是说，当n时，上式也成立。因此，首项为,公比为的等比数列的通项公式为探究5.  当 , ()当, ()即指数型函数（为, 常数， , 且）构成一个等比数列，其首项为，公比为探究6： () 二、典例解析例1. 分析：等比数列由唯一确定，可利用条件列出关于的方程（组），进行求解。解法1：由，，得的两边分别除以①的两边，得  解得或.把 代入①，得 .此时 .把 代入①，得 .此时 .因此的第5项是24或.解法2：因为 是 与 的等比中项，所以.所以.因此，的第5项是24或-24.例2  解：由题意，得，①.     ②的两边分别除以①的两边，得=所以  . 跟踪训练1 解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.(1)由题意可知∴q＝－，a1＝－8，∴an＝a1qn－1＝－8×n－1＝(－2)4－n.(2)∵a3＋a6＝(a2＋a5)q，即9＝18q，∴q＝.由a1q＋a1q4＝18得a1＝32，由an＝a1qn－1＝1知n＝6.例3. 分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列出方程组求解.解：设前三项的公比为 ,后三项的公差为，则数列的各项依次为 ,80,80, 80,于是得解方程组，得 所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.跟踪训练2.解法1：设这四个数依次为, 于是得解方程组，得 所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法2：设这四个数依次为, 于是得解方程组，得 所以当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；当a＝3，时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 达标检测1．A　解析： ∵等比数列的通项公式an＝a1qn－1，∴a5＝a1×q4＝4×4＝，故选A． 2． A　解析：由已知数列an＝(－1)n(n∈N*)的前5项为－1,1，－1,1，－1，明显数列{an}不是等差数列，也不是单调递增数列，也不是单调递减数列，排除BCD．又当n≥2，n∈N*时，＝＝－1为常数，故数列{an}是等比数列．故选A．3．C　解析：因为a3＝3a1＋2a2，所以a1q2＝3a1＋2a1q.又a1≠0，所以q2－2q－3＝0.又q>0，解得q＝3.故选C．4. A　解析：∵－1，a，b，c，－9成等比数列，∴－1，a，b成等比数列，a，b，c成等比数列，b，c，－9成等比数列，∴a2＝－b，b2＝ac，c2＝－9b.∴b4＝a2c2＝(－1)×(－9)b2.∴b2＝9.又a2＝－b>0，∴b<0，∴b＝－3.5．解：设数列{an}的公比为q.由题意，得解得所以{an}的通项公式为an＝2n－1.