高中数学4.3 等比数列学案设计

4.3.2等比数列的前n项和公式 (1)   导学案

1.  掌握等比数列的前n项和公式及其应用．

2．会用错位相减法求数列的和．

3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.

重点：等比数列的前n项的运用

难点：等比数列的前n项和公式的推导

1. 等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示(显然 )．

符号语言：      

2.等差与等比数列

3.等比数列的前n项和公式

;; na1

一、    新知探究

国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.

问题1：每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列,请判断分析这个数列是否是等比数列?并写出这个等比数列的通项公式.

问题2：请将发明者的要求表述成数学问题.

问题3：如何求解该问题.

回顾：等差数列的前 项和公式的推导过程.

等差数列 , , 的前 项和是

根据等差数列的定义=

         ①

         ②

①+ ②得，).

所以

问题4：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢？

问题5：求和的根本目的是什么？

思路：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示.

         ①

问题6：观察① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？

问题7：如何构造另一个式子，与原式相减后可以消除中间项？

问题8：要求出，是否可以把上式两边同时除以(1 ？

问题3的解决：

      “请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”

二、典例解析

例1.已知数列是等比数列.

（1）若，，求；

（2）若，，，求；

（3）若，，，求.

例2 已知等比数列的首项为，前项和为，若，求公比.

在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解．在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．

跟踪训练1. 已知等比数列{an}满足a3＝12，a8＝，记其前n项和为Sn.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若Sn＝93，求n.

例3 已知等比数列的公比，前项和为.证明，，成等比数列，并求这个数列的公比.

1．等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，当Sn＝127时，n＝(　　)

A．8           B．7             C．6          D．5

2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋S3＝0，则公比q＝(　　)

A．－1        B．1               C．－2         D．2

3．已知等比数列{an}的公比为－2，且Sn为其前n项和，则＝(　　)

A．－5        B．－3              C．5            D．3

4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，S3＝9，则S4＝(　　)

A．12         B．－15           C．12或－15    D．12或15

5．等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.

(1)若a1＝－8，a3＝－2，求S4；

(2)若S6＝315，q＝2，求a1.

（1）等比数列前项和公式，对于公比未知的等比数列，应用等比数列的前项和公式时，需讨论公比是否为1；

（2）等比数列前项和公式的推导：错位相减法；

（3）数学思想方法的应用:

①方程思想:等比数列求和问题中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现；

②分类讨论思想：由等比数列前项和公式可知，解答等比数列求和问题时常常要用到分类讨论思想.

参考答案：

知识梳理

学习过程

一、    新知探究

问题1：

是等比数列,首项是1，公比是2，共64项. 通项公式为

问题2：

求这个等比数列的前64项的和，即：=？

问题3：如何求解该问题.

回顾：

等差数列 , , 的前 项和是

根据等差数列的定义=

         ①

         ②

①+ ②得，).

所以

问题4：

在等比数列中，所以).

对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本质，即求和的根本目的.

问题5：求和的根本目的是什么？

思路：

         ①

问题6：

问题7：

         ①

       ②

设等比数列 的首项为   ，公比为   ，则 的前项和是

根据等比数列的通项公式，

         ①

       ②

① ②得, =

即(1 =( 1)

问题8：

(1 =( 1)

当1   时，即 时，=

当1   时，即 时， =

问题3的解决：

= =

一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨.

不能实现！

二、典例解析

例1.解：（1）因为，，所以.

（2）由，，可得，

即.

又由，得  .

所以 .

（3）把，，代入，得

，

整理，得  ，解得.

例2 解：若，则，

所以.

当时,由得，

.

整理，得 ，

即  .所以 .

跟踪训练1. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，

则解得

所以an＝a1qn－1＝48×n－1.

 (2)Sn＝＝＝96.

由Sn＝93，得96＝93，解得n＝5.

例3 证明:(方法一)

当时，，

，

，

所以，，成等比数列，公比为1.

当时，

，

，

，

所以     .

因为为常数,所以，，成等比数列，公比为.

(方法二)

，

         ，

         .

所以     .

因为为常数，所以，，成等比数列，公比为.

结论：等比数列的公比，前项和为，则，，成等比数列，公比为.

注：当时，此结论不一定成立.例如，当时，此结论不成立.

达标检测

1．B　解析：由Sn＝，a1＝1，q＝2.

当Sn＝127时，则127＝，解得n＝7.故选B.

2． A　解析：∵a2＋S3＝a2＋(a1＋a2＋a3)＝0，

∴a1＋2a2＋a3＝a1(1＋2q＋q2)＝a1(1＋q)2＝0.

又a1≠0，∴q＝－1.故选A．

3．C　解析：由题意可得：＝＝1＋(－2)2＝5，故选C．

4．C　解析：因为a1＝3，S3＝9，当q＝1时，满足题意；故可得S4＝4a1＝12；

当q≠1时，S3＝＝9，解得q＝－2，

故S4＝＝＝－15.

综上所述S4＝12或－15.故选C．

5．解：(1)由题意可得q2＝＝＝，

所以q＝－或q＝.

当q＝－时，S4＝＝－5；

当q＝时，S4＝＝－15.

综上所述，S4＝－15或S4＝－5.

(2)S6＝＝315，解得a1＝5.