高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算学案，共8页。

1.掌握导数的四则运算法则，并能进行简单的应用．
2.能灵活运用导数的运算法则解决函数求导．
重点：导数的四则运算法则
难点：运用导数的运算法则解决函数求导
导数的运算法则
(1)和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝______________．
(2)积的导数
①[f(x)·g(x)]′＝____________________；
②[cf(x)]′＝________．
(3)商的导数
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝___________________________
f′(x)±g′(x); f′(x)g(x)＋f(x)g′(x); cf′(x);
eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)
学习导引
在例2中，当p0=5时，pt=5×1.05t,这时，求p关于t的导数可以看成求函数ft=5 与gt=1.05t乘积的导数，一般地，如何求两个函数和、差、积商的导数呢？
二、新知探究
探究1： 设fx=x2 ，gx=x，计算fx+gx'与fx-gx'，它们与f(x)’和g(x)’有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？
探究:2： 设fx=x2 ，gx=x，计算fxgx'与f(x)’g(x)’，它们是否相等？fx与gx商的导数是否等于它们导数的商呢？
三、典例解析
例3.求下列函数的导数
（1）y=x3-x+3;
（2）y=2x+csx;
例4.求下列函数的导数
（1）y=x3ex; （2）y=2sinxx2;
求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数；
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋lg3x； (2)y＝x3·ex； (3)y＝eq \f(cs x,x).
跟踪训练2 求下列函数的导数
（1）y＝tan x； （2）y＝2sin eq \f(x,2)cs eq \f(x,2)
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知将1t水进化到纯净度为x%所需费用（单位：元），为
c(x)=5284100-x (80求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：
（1） 90% ；（2） 98%
例6 (1)函数y＝3sin x在x＝eq \f(π,3)处的切线斜率为________．
(2)已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)．
①求f(1)＋f′(1)；
②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
关于函数导数的应用及其解决方法
(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用；
(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为 ( )
A．1 B．eq \r(2) C．－1 D．0
2. 已知物体的运动方程为s＝t2＋eq \f(3,t)(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为 ( )
A.eq \f(19,4) B.eq \f(17,4) C.eq \f(15,4) D.eq \f(13,4)
3.如图有一个图象是函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)＝( )
A．eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C．eq \f(7,3) D．－eq \f(1,3)或eq \f(5,3)
4.求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝eq \f(ln x,x2＋1)；(4)y＝x2－sin eq \f(x,2)cseq \f(x,2).
参考答案：
知识梳理
学习过程
新知探究
探究1：设y=fx+gx=x2+x ，因为
∆y∆x=x+∆x2+x+∆x-(x2+x)∆x=∆x2+2x∆x+∆x∆x= ∆x+2x+1
fx+gx'=y'=∆x→0lim ∆y∆x=∆x→0lim ∆x+2x+1 =2x+1
而fx'= 2x, gx'= 1,
所以fx+gx'=fx'+gx'
同样地，对于上述函数，fx-gx'=fx'-gx'
探究:2：通过计算可知，fxgx'=(x3)’ =3x2，f(x)’g(x)’= 2x∙1= 2x，
因此fxgx'≠f(x)’g(x)’，同样地fxgx'与 fx'g(x)’也不相等
典例解析
例3.解：（1）y’=(x3-x+3)’
=(x3)’ - (x)’+(3)’=3x2-1
（2）y’=(2x+csx)’=(2x)’+(csx)’=2xln2-sinx
例4.解：（1）y’=(x3ex)’
=(x3)’ex+x3 (ex)’=3x2ex+x3ex
（2）y’=(2sinxx2)’=(2sinx)’x2-x3 (x2)’(x2)2=2x2csx-4xsinxx4=2xcsx-4sinxx3
跟踪训练1 [解] (1)y′＝(x2＋lg3x)′＝(x2)′＋(lg3x)′＝2x＋eq \f(1,xln 3).
(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′
＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．
(3)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,x)))′＝eq \f(cs x′·x－cs x·x′,x2)
＝eq \f(－x·sin x－cs x,x2)＝－eq \f(xsin x＋cs x,x2).
跟踪训练2 解析：（1）y＝tan x＝eq \f(sin x,cs x)，
故y′＝eq \f(sin x′cs x－cs x′sin x,cs x2)＝eq \f(cs2x＋sin2x,cs2x)＝eq \f(1,cs2x).
（2）y＝2sin eq \f(x,2)cs eq \f(x,2)＝sin x，故y′＝cs x.
例5 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数；
c'(x)=(5284100-x)'
=5284’×(100-x)-5284 (100-x)’(100-x)2
=0×(100-x)-5284 ×(-1)(100-x)2=5284 (100-x)2
（1）因为c'(90)=5284 100-902=52.84，所以，进化到纯净度为90%时，净化费用的变化瞬时率是52.84 元/吨.
（2）因为c'(98)=5284 100-982=1321，所以进化到纯净度为90%时,净化费用的变化瞬时率是1321 元/吨.
例6 (1)[解析] 由函数y＝3sin x，得y′＝3cs x，
所以函数在x＝eq \f(π,3)处的切线斜率为3×cseq \f(π,3)＝eq \f(3,2).
[答案] eq \f(3,2)
(2)[解] ①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，
由f(x)＝ax2＋ln x， 得f′(x)＝2ax＋eq \f(1,x)，
所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.
②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，
故此时切线斜率为0，
问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋eq \f(1,x)存在零点，
即f′(x)＝0，所以2ax＋eq \f(1,x)＝0有正实数解，
即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．
达标检测
1．解析：∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
答案：A
2.解析：∵s′＝2t－eq \f(3,t2)，∴s′|t＝2＝4－eq \f(3,4)＝eq \f(13,4).
答案：D
3.解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，
图(1)与(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，
此时a＝0，与题设不符合，
故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．
由图(3)知f′(0)＝0，
由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋1－a－1>0，,a＋1a－1＝0，))
解得a＝－1.故f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋1，所以f(－1)＝－eq \f(1,3).
答案：B
4. [解] (1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
(3)y′＝eq \f(x2＋1－2x2·ln x,xx2＋12).
(4)∵y＝x2－sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)＝x2－eq \f(1,2)sin x，
∴y′＝2x－eq \f(1,2)cs x.