人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义第二课时当堂达标检测题

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1．设曲线y＝f(x)在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线( )
A．垂直于x轴
B．垂直于y轴
C．既不垂直于x轴也不垂直于y轴
D．方向不能确定
解析：选B 由导数的几何意义知曲线f(x)在此点处的切线的斜率为0，故切线与y轴垂直．
2．设f(x)存在导函数，且满足eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(f1－f1－2Δx,2Δx)＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
解析：选B eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(f1－f1－2Δx,2Δx)
＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(f1－2Δx－f1,－2Δx)＝f′(1)＝－1.
3．曲线y＝eq \f(1,3)x3－2在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(5,3)))处切线的倾斜角为( )
A．1 B.eq \f(π,4)
C.eq \f(5π,4) D．－eq \f(π,4)
解析：选B ∵y′＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋Δx3－2))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－2)),Δx)
＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x2＋xΔx＋\f(1,3)Δx2))＝x2，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.
∴切线的倾斜角为eq \f(π,4)，故选B.
4．(多选)设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )
A．(1,0) B．(2,8)
C．(－1，－4) D．(－2，－12)
解析：选AC f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(x＋Δx3＋x＋Δx－2－x3＋x－2,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(3x2＋1Δx＋3xΔx2＋Δx3,Δx)＝3x2＋1.
由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
5．过正弦曲线y＝sin x上的点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))的切线与y＝sin x的图象的交点个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：选D 由题意，y＝f(x)＝sin x，
则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋Δx))－sin \f(π,2),Δx)
＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(cs Δx－1,Δx).
当Δx→0时，cs Δx→1，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝0.
∴曲线y＝sin x的切线方程为y＝1，且与y＝sin x的图象有无数个交点．
6．曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________.
解析：∵y′|x＝1＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(a1＋Δx2－a×12,Δx)＝
eq \(Δx→0,\s\up7(lim))eq \f(2aΔx＋aΔx2,Δx)＝eq \(Δx→0,\s\up7(lim))(2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
答案：1
7．已知函数y＝f(x)的图象如图所示， 则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号)．
解析：由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)