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人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列第二课时当堂达标检测题
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列第二课时当堂达标检测题，文件包含431第二课时等比数列的性质及应用习题课原卷版-上好课2020-2021学年高二数学同步备课系列人教A版2019选择性必修第二册docx、431第二课时等比数列的性质及应用习题课解析版-上好课2020-2021学年高二数学同步备课系列人教A版2019选择性必修第二册docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共8页， 欢迎下载使用。
1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0
C．12 D．24
解析：选A 由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
2．在正项等比数列{an}中，an＋1A.eq \f(5,6) D．eq \f(6,5)
C.eq \f(2,3) D．eq \f(3,2)
解析：选D 法一：设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1∴a5＝eq \r(6)，a4＋a6＝eq \f(\r(6),q)＋eq \r(6)q＝5.
解得q＝eq \f(2,\r(6))，∴eq \f(a5,a7)＝eq \f(1,q2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))2＝eq \f(3,2).
法二：设公比为q，由an＞0，且an＋1＜an知0＜q＜1.
∵a2·a8＝a4·a6＝6，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4·a6＝6，,a4＋a6＝5，))则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝3，,a6＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝2，,a6＝3))(舍)．
∴q2＝eq \f(a6,a4)＝eq \f(2,3)，
∴eq \f(a5,a7)＝eq \f(1,q2)＝eq \f(3,2).
3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为( )
A．100 B．－100
C．10 000 D．－10 000
解析：选C ∵a3a8a13＝aeq \\al(3,8)，∴lg(a3a8a13)＝lg aeq \\al(3,8)＝3lg a8＝6.∴a8＝100.∴a1a15＝aeq \\al(2,8)＝10 000，故选C.
4．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则( )
A．a1＝1 B．a3＝1
C．a4＝1 D．a5＝1
解析：选B 由题意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又因为a1·a5＝a2·a4＝aeq \\al(2,3)，所以aeq \\al(5,3)＝1，得a3＝1.
5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选C 等比数列{an}中，a3a11＝aeq \\al(2,7)＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.
6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．
解析：设此三数为3，a，b，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝3＋b，,a－62＝3b，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝15，,b＝27.))所以这个未知数为3或27.
答案：3或27
7．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
解析：由题意得a4＝eq \f(1,2)，a5＝eq \f(3,2)，∴q＝eq \f(a5,a4)＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(3,2)))×32＝18.
答案：18
8．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．
解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，eq \r(2)为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，
则第10个正方形的面积S＝aeq \\al(2,10)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(11,2)))2＝211＝2 048.
答案：2 048
9．在由实数组成的等比数列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.
解：法一：由条件得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a7q－4＋a7＋a7q4＝28， ①,a7q－5·a7·a7q5＝512， ②))
由②得aeq \\al(3,7)＝512，即a7＝8.
将其代入①得2q8－5q4＋2＝0.
解得q4＝eq \f(1,2)或q4＝2，即q＝±eq \f(1,\r(4,2))或q＝±eq \r(4,2).
法二：∵a3a11＝a2a12＝aeq \\al(2,7)，
∴aeq \\al(3,7)＝512，即a7＝8.
于是有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＋a11＝20，,a3a11＝64，))
即a3和a11是方程x2－20x＋64＝0的两根，解此方程得x＝4或x＝16.
因此eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝4，,a11＝16))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝16，,a11＝4.))
又∵a11＝a3·q8，
∴q＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a11,a3)))＝±4＝±eq \r(4,2)或q＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝±eq \f(1,\r(4,2)) .
10．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
解：∵a1a5＝aeq \\al(2,3)，a3a7＝aeq \\al(2,5)，
∴由题意，得aeq \\al(2,3)－2a3a5＋aeq \\al(2,5)＝36，
同理得aeq \\al(2,3)＋2a3a5＋aeq \\al(2,5)＝100，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3－a52＝36，,a3＋a52＝100.))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3－a5＝±6，,a3＋a5＝10.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝2，,a5＝8))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝8，,a5＝2.))
分别解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(1,2)，,q＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝32，,q＝\f(1,2).))
∴an＝2n－2或an＝26－n.
[B级 综合运用]
11．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝( )
A．230 B．210
C．220 D．215
解析：选C ∵a1·a2·a3·…·a30＝230，
∴aeq \\al(30,1)·q1＋2＋3＋…＋29＝aeq \\al(30,1)·qeq \f(29×30,2)＝230，
∴a1＝2－eq \f(27,2)，
∴a3·a6·a9·…·a30＝aeq \\al(10,3)·(q3)eq \f(9×10,2)
＝(2－eq \f(27,2)×22)10×(23)45＝220.
12．各项均为正数的等比数列{an}满足：a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，记数列{an}的前n项积为Tn，则满足Tn＞1的最大正整数n的值为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：选B ∵a6＋a7＞a6a7＋1＞2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a6a7＞1，,a6－1a7－1＜0，))
∵a1＞1，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a6＞1，,a7＜1，))
由a6a7＞1得a1a12＝a2a11＝…＝a6a7＞1，∴T12＞1，
∵a7＜1，∴a1a13＝a2a12＝…＝aeq \\al(2,7)＜1，∴T13＜1，
∴n的最大值为12，故选B.
13．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则a3a18＝________，ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
解析：因为{an}为等比数列，所以a1a20＝a2a19＝…＝a9a12＝a10a11.又a10a11＋a9a12＝2e5，所以a3a18＝a10a11＝a9a12＝e5，所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝ln e50＝50.
答案：e5 50
14．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{bn}的通项公式．
解：依题意aeq \\al(2,5)＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，所以a1d＝2d2，因为d≠0，所以a1＝2d，数列{abn}的公比q＝eq \f(a5,a1)＝eq \f(a1＋4d,a1)＝3，
所以abn＝a13n－1，①
又abn＝a1＋(bn－1)d＝eq \f(bn＋1,2)a1，②
由①②得a1·3n－1＝eq \f(bn＋1,2)·a1.
因为a1＝2d≠0，所以bn＝2×3n－1－1.
[C级 拓展探究]
15．容器A中盛有浓度为a%的农药m L，容器B中盛有浓度为b%的同种农药m L，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a>b)，先将A中农药的eq \f(1,4)倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持m L，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?
解：设第n次操作后，A中农药的浓度为an，B中农药的浓度为bn，则a0＝a%，b0＝b%.
b1＝eq \f(1,5)(a0＋4b0)，a1＝eq \f(3,4)a0＋eq \f(1,4)b1＝eq \f(1,5)(4a0＋b0)；
b2＝eq \f(1,5)(a1＋4b1)，a2＝eq \f(3,4)a1＋eq \f(1,4)b2＝eq \f(1,5)(4a1＋b1)；…；
bn＝eq \f(1,5)(an－1＋4bn－1)，an＝eq \f(1,5)(4an－1＋bn－1)．
∴an－bn＝eq \f(3,5)(an－1－bn－1)＝…
＝eq \f(3,5)(a0－b0)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))n－1.
∵a0－b0＝eq \f(1,5)，∴an－bn＝eq \f(1,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))n.
依题意知eq \f(1,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))n<1%，n∈N*，解得n≥6.
故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.
1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0
C．12 D．24
解析：选A 由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
2．在正项等比数列{an}中，an＋1
C.eq \f(2,3) D．eq \f(3,2)
解析：选D 法一：设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1
解得q＝eq \f(2,\r(6))，∴eq \f(a5,a7)＝eq \f(1,q2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))2＝eq \f(3,2).
法二：设公比为q，由an＞0，且an＋1＜an知0＜q＜1.
∵a2·a8＝a4·a6＝6，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4·a6＝6，,a4＋a6＝5，))则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝3，,a6＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝2，,a6＝3))(舍)．
∴q2＝eq \f(a6,a4)＝eq \f(2,3)，
∴eq \f(a5,a7)＝eq \f(1,q2)＝eq \f(3,2).
3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为( )
A．100 B．－100
C．10 000 D．－10 000
解析：选C ∵a3a8a13＝aeq \\al(3,8)，∴lg(a3a8a13)＝lg aeq \\al(3,8)＝3lg a8＝6.∴a8＝100.∴a1a15＝aeq \\al(2,8)＝10 000，故选C.
4．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则( )
A．a1＝1 B．a3＝1
C．a4＝1 D．a5＝1
解析：选B 由题意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又因为a1·a5＝a2·a4＝aeq \\al(2,3)，所以aeq \\al(5,3)＝1，得a3＝1.
5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选C 等比数列{an}中，a3a11＝aeq \\al(2,7)＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.
6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．
解析：设此三数为3，a，b，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝3＋b，,a－62＝3b，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝15，,b＝27.))所以这个未知数为3或27.
答案：3或27
7．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
解析：由题意得a4＝eq \f(1,2)，a5＝eq \f(3,2)，∴q＝eq \f(a5,a4)＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(3,2)))×32＝18.
答案：18
8．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．
解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，eq \r(2)为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，
则第10个正方形的面积S＝aeq \\al(2,10)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(11,2)))2＝211＝2 048.
答案：2 048
9．在由实数组成的等比数列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.
解：法一：由条件得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a7q－4＋a7＋a7q4＝28， ①,a7q－5·a7·a7q5＝512， ②))
由②得aeq \\al(3,7)＝512，即a7＝8.
将其代入①得2q8－5q4＋2＝0.
解得q4＝eq \f(1,2)或q4＝2，即q＝±eq \f(1,\r(4,2))或q＝±eq \r(4,2).
法二：∵a3a11＝a2a12＝aeq \\al(2,7)，
∴aeq \\al(3,7)＝512，即a7＝8.
于是有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＋a11＝20，,a3a11＝64，))
即a3和a11是方程x2－20x＋64＝0的两根，解此方程得x＝4或x＝16.
因此eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝4，,a11＝16))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝16，,a11＝4.))
又∵a11＝a3·q8，
∴q＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a11,a3)))＝±4＝±eq \r(4,2)或q＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝±eq \f(1,\r(4,2)) .
10．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
解：∵a1a5＝aeq \\al(2,3)，a3a7＝aeq \\al(2,5)，
∴由题意，得aeq \\al(2,3)－2a3a5＋aeq \\al(2,5)＝36，
同理得aeq \\al(2,3)＋2a3a5＋aeq \\al(2,5)＝100，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3－a52＝36，,a3＋a52＝100.))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3－a5＝±6，,a3＋a5＝10.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝2，,a5＝8))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝8，,a5＝2.))
分别解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(1,2)，,q＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝32，,q＝\f(1,2).))
∴an＝2n－2或an＝26－n.
[B级 综合运用]
11．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝( )
A．230 B．210
C．220 D．215
解析：选C ∵a1·a2·a3·…·a30＝230，
∴aeq \\al(30,1)·q1＋2＋3＋…＋29＝aeq \\al(30,1)·qeq \f(29×30,2)＝230，
∴a1＝2－eq \f(27,2)，
∴a3·a6·a9·…·a30＝aeq \\al(10,3)·(q3)eq \f(9×10,2)
＝(2－eq \f(27,2)×22)10×(23)45＝220.
12．各项均为正数的等比数列{an}满足：a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，记数列{an}的前n项积为Tn，则满足Tn＞1的最大正整数n的值为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：选B ∵a6＋a7＞a6a7＋1＞2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a6a7＞1，,a6－1a7－1＜0，))
∵a1＞1，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a6＞1，,a7＜1，))
由a6a7＞1得a1a12＝a2a11＝…＝a6a7＞1，∴T12＞1，
∵a7＜1，∴a1a13＝a2a12＝…＝aeq \\al(2,7)＜1，∴T13＜1，
∴n的最大值为12，故选B.
13．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则a3a18＝________，ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
解析：因为{an}为等比数列，所以a1a20＝a2a19＝…＝a9a12＝a10a11.又a10a11＋a9a12＝2e5，所以a3a18＝a10a11＝a9a12＝e5，所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝ln e50＝50.
答案：e5 50
14．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{bn}的通项公式．
解：依题意aeq \\al(2,5)＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，所以a1d＝2d2，因为d≠0，所以a1＝2d，数列{abn}的公比q＝eq \f(a5,a1)＝eq \f(a1＋4d,a1)＝3，
所以abn＝a13n－1，①
又abn＝a1＋(bn－1)d＝eq \f(bn＋1,2)a1，②
由①②得a1·3n－1＝eq \f(bn＋1,2)·a1.
因为a1＝2d≠0，所以bn＝2×3n－1－1.
[C级 拓展探究]
15．容器A中盛有浓度为a%的农药m L，容器B中盛有浓度为b%的同种农药m L，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a>b)，先将A中农药的eq \f(1,4)倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持m L，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?
解：设第n次操作后，A中农药的浓度为an，B中农药的浓度为bn，则a0＝a%，b0＝b%.
b1＝eq \f(1,5)(a0＋4b0)，a1＝eq \f(3,4)a0＋eq \f(1,4)b1＝eq \f(1,5)(4a0＋b0)；
b2＝eq \f(1,5)(a1＋4b1)，a2＝eq \f(3,4)a1＋eq \f(1,4)b2＝eq \f(1,5)(4a1＋b1)；…；
bn＝eq \f(1,5)(an－1＋4bn－1)，an＝eq \f(1,5)(4an－1＋bn－1)．
∴an－bn＝eq \f(3,5)(an－1－bn－1)＝…
＝eq \f(3,5)(a0－b0)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))n－1.
∵a0－b0＝eq \f(1,5)，∴an－bn＝eq \f(1,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))n.
依题意知eq \f(1,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))n<1%，n∈N*，解得n≥6.
故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.
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