高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第二课时习题

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1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5等于( )
A．15 B．16
C．31 D．32
解析：选C ∵数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，
∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.
2．若数列{an}满足an＋1＝eq \f(4an＋3,4)(n∈N*)，且a1＝1，则a17＝( )
A．13 B．14
C．15 D．16
解析：选A 由an＋1＝eq \f(4an＋3,4)得an＋1－an＝eq \f(3,4)，a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋eq \f(3,4)×16＝13，故选A.
3．(多选)数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项是( )
A．第4项 B．第5项
C．第6项 D．第7项
解析：选BC an＝－n2＋11n＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(11,2)))2＋eq \f(121,4)，
∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值．故选B、C.
4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,n).①
第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，an.
则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝( )
A．n2 B．(n－1)2
C．n(n－1) D．n(n＋1)
解析：选C 由题意得ak＝eq \f(n,k).k≥2时，ak－1ak＝eq \f(n2,k－1k)＝n2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k－1)－\f(1,k))).∴n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝n2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))))＝n2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,n)))＝n(n－1)．故选C.
5．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝aeq \a\vs4\al(bn－1)，则b6的值是( )
A．9 B．17
C．33 D．65
解析：选C ∵bn＝aeq \a\vs4\al(bn－1)，∴b2＝aeq \a\vs4\al(b1)＝a2＝3，b3＝aeq \a\vs4\al(b2)＝a3＝5，b4＝aeq \a\vs4\al(b3)＝a5＝9，b5＝aeq \a\vs4\al(b4)＝a9＝17，b6＝aeq \a\vs4\al(b5)＝a17＝33.
6．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 021＝________.
解析：根据定义可得出：x1＝f(x0)＝2，x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，…，所以周期为3，故x2 021＝673×3＋x2＝1.
答案：1
7．如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.
解析：因为OA1＝1，OA2＝eq \r(2)，OA3＝eq \r(3)，…，OAn＝eq \r(n)，…，所以a1＝1，a2＝eq \r(2)，a3＝eq \r(3)，…，an＝eq \r(n).
答案：eq \r(n)
8．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________．
解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，
得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，
令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，
则a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.
答案：－1
9．根据下列条件，写出数列的前四项，并写出它的一个通项公式：
(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＋1＝an＋eq \f(an,n＋1)(n∈N*)；
(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．
解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.它的一个通项公式为an＝(n－1)2.
(2)a1＝1，a2＝eq \f(3,2)，a3＝eq \f(4,2)，a4＝eq \f(5,2).它的一个通项公式为an＝eq \f(n＋1,2).
(3)a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝9.它的一个通项公式为an＝2n－1＋1.
10．已知函数f(x)＝x－eq \f(1,x).数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．
解：∵f(x)＝x－eq \f(1,x)，∴f(an)＝an－eq \f(1,an)，
∵f(an)＝－2n.∴an－eq \f(1,an)＝－2n，即aeq \\al(2,n)＋2nan－1＝0.
∴an＝－n±eq \r(n2＋1).∵an>0，∴an＝eq \r(n2＋1)－n.
[B级 综合运用]
11．已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝eq \f(an－1,an＋1)，数列{an}的前n项的和为Sn，则S1 008等于( )
A．504 B．294
C．－294 D．－504
解析：选C ∵a1＝2，an＋1＝eq \f(an－1,an＋1)，∴a2＝eq \f(1,3)，a3＝－eq \f(1,2)，a4＝－3，a5＝2，…，∴数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－eq \f(7,6)，∴S1 008＝S4×252＝252×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)))＝－294.
12．(多选)数列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是( )
A．S5＝F7－1 B．S5＝S6－1
C．S2 019＝F2 021－1 D．S2 019＝F2 020－1
解析：选AC 根据题意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2 019＝F2 021－1.故选A、C.
13．已知数列{an}满足a1＝1，an＝aeq \\al(2,n－1)－1(n＞1)，则a2 021＝________，|an＋an＋1|＝________(n＞1)．
解析：由a1＝1，an＝aeq \\al(2,n－1)－1(n＞1)，得
a2＝aeq \\al(2,1)－1＝12－1＝0，a3＝aeq \\al(2,2)－1＝02－1＝－1，
a4＝aeq \\al(2,3)－1＝(－1)2－1＝0，a5＝aeq \\al(2,4)－1＝02－1＝－1，
由此可猜想当n＞1，n为奇数时an＝－1，n为偶数时an＝0，∴a2 021＝－1，|an＋an＋1|＝1.
答案：－1 1
14．已知数列{an}满足a1＝eq \f(1,2)，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
解：∵anan－1＝an－1－an，∴eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝1.
∴eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)－\f(1,a1)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a3)－\f(1,a2)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－\f(1,an－1)))
＝2＋1＋1＋…＋eq \(1,\s\d4(n－1个1))＝n＋1.
∴eq \f(1,an)＝n＋1，
∴an＝eq \f(1,n＋1)(n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝eq \f(1,2)，符合上式，
∴an＝eq \f(1,n＋1).
[C级 拓展探究]
15．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n2,2n)(n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．
解：存在最大项．理由：a1＝eq \f(1,2)，a2＝eq \f(22,22)＝1，a3＝eq \f(32,23)＝eq \f(9,8)，a4＝eq \f(42,24)＝1，a5＝eq \f(52,25)＝eq \f(25,32)，….∵当n≥3时，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n＋12,2n＋1)×eq \f(2n,n2)＝eq \f(n＋12,2n2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))2