高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算同步测试题

5.2.3简单复合函数的导数

[A级　基础巩固]

1．函数y＝5的导数为(　　)

A．y′＝54

B．y′＝54

C．y′＝54

D．y′＝54

解析：选C　函数y＝5是函数y＝u5与u＝x＋的复合函数，∴y′　x＝y′　u·u′　x＝54.

2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　)

A．ln(2x＋5)－

B．ln(2x＋5)＋

C．2xln(2x＋5)

D.

解析：选B　y′＝[xln(2x＋5)]′

＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′

＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′

＝ln(2x＋5)＋.

3．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　)

A．1　　　B．2　　　C．－1　　　D．－2

解析：选B　设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有由此得x0＝－1，a＝2.

4．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)

A.  B.  C.   D．1

解析：选A　y′＝－2e－2×0＝－2，∴ 曲线在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋2.

由得x＝y＝，

∴A，

则围成的三角形的面积为××1＝.

5．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　y′＝＝

＝.

∵ex＋≥2，∴ex＋＋2≥4，

∴y′∈[－1,0)，即tan α∈[－1,0)，

∴α∈.

6．函数y＝sin 2xcos 3x的导数是________．

解析：∵y＝sin 2xcos 3x，

∴y′＝(sin 2x)′cos 3x＋sin 2x(cos 3x)′

＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x.

答案：2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x

7．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率为________．

解析：yx′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，

故曲线在点(1,1)处切线的斜率为2.

答案：2

8．若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.

解析：令u＝2x＋a，

则yx′＝yu′·ux′＝(u2)′(2x＋a)′＝4(2x＋a)，

则f′(2)＝4(2×2＋a)＝20，∴a＝1.

答案：1

9．求函数y＝asin ＋bcos22x(a，b是实常数)的导数．

解：∵′＝acos′＝cos，

又∵(cos22x)′＝′

＝(－sin 4x)×4＝－2sin 4x，

∴y＝asin ＋bcos22x的导数为

y′＝′＋b(cos22x)′＝cos－2bsin 4x.

10．曲线y＝e2xcos 3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为 ，求直线l的方程．

解：由y′＝(e2xcos 3x)′

＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′

＝2e2xcos 3x＋e2x(－3sin 3x)

＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，

得y′＝2.

则切线方程为 y－1＝2(x－0)，

即2x－y＋1＝0.

若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，

两平行线间的距离d＝＝，解得c＝6或c＝－4.

故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.

[B级　综合运用]

11．函数f(x)＝的导函数是(　　)

A．f′(x)＝2e2x　　　　　 B．f′(x)＝

C．f′(x)＝   D．f′(x)＝

解析：选C　对于函数f(x)＝，对其求导可得：f′(x)＝＝＝.故选C.

12．(多选)下列函数是复合函数的是(　　)

A．y＝－x3－＋1   B．y＝cos

C．y＝   D．y＝(2x＋3)4

解析：选BCD　A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cos u的复合函数，C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选B、C、D.

13．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．

解析：设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.

因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝2，即所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.

答案：2x－y＝0

14．设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S(t)．

(1)求切线l的方程；(2)求S(t)的解析式．

解：(1)∵y＝e－x，∴yx′＝(e－x)′＝－e－x，

当x＝t时，yx′＝－e－t.

故切线方程为y－e－t＝－e－t(x－t)，

即x＋ety－(t＋1)＝0.

(2)令y＝0，得x＝t＋1.

令x＝0，得y＝e－t(t＋1)．

∴S(t)＝(t＋1)·e－t(t＋1)＝(t＋1)2e－t(t≥0)．

[C级　拓展探究]

15．求曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离．

解：作出直线 l：2x－y＋3＝0和曲线 y＝ln(2x－1)的图象(图略)，可知它们无公共点，所以平移直线l，当l与曲线相切时，切点到直线l的距离就是曲线上的点到直线l的最短距离，y′＝(2x－1)′＝.

设切点为P(x0，y0)，

所以＝2，所以x0＝1，

所以y0＝ln(2×1－1)＝0，P(1,0)．

所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离为P(1,0)到直线l：2x－y＋3＝0的距离，最短距离d＝＝＝.