2021学年4.3 等比数列一课一练

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课时同步练4.3.2  等比数列的前n项和（1）一、单选题1．等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，则其前八项之和等于（    ）A．15    B．21    C．19    D．17【答案】D【解析】由已知得，则.故选D.2．若a，4，3a为等差数列的连续三项，则的值为（    ）A．2047    B．1062    C．1023    D．531【答案】C【解析】∵ a，4，3a为等差数列的连续三项∴a+3a=4a=2×4，解得a=2，故=20+21+22+…+29=．故选C．3．已知等比数列｛an｝的公比q=，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a1+a2+a3+a4+…+a100等于（    ）A．100    B．90    C．60    D．40【答案】B【解析】∵，∴， ∴.故选B.4．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为（    ）A．12       B．14       C．15       D．16【答案】D【解析】＝q4＝2，由a1＋a2＋a3＋a4＝1，得a1(1＋q＋q2＋q3)＝1，即a1·＝1，∴a1＝q－1，又Sn＝15，即＝15，∴qn＝16，又∵q4＝2，∴n＝16.故选D.5．在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（    ）A．    B．    C．   D．【答案】A【解析】设等比数列的公比为.因为数列也是等比数列，所以，解得：，所以.故选A.6．若是一个等比数列的前项和，，，则等于（    ）A．    B．    C．    D．【答案】D【解析】由题意可知，、、成等比数列，即、、成等比数列，所以，，解得，故选D.7．设，则等于（    ）A．  B．  C．  D．【答案】D【解析】数列是首项为2，公比为的等比数列，共有（n+4）项，所以.故选D8．已知一个等比数列的首项为2，公比为3，第m项至第n项（）的和为720，那么m等于（    ）A．3    B．4    C．5    D．6【答案】A【解析】由题意可得Sn﹣Sm﹣1＝am+am+1+…+an＝720，∵a1＝2，q＝3，由等比数列的求和公式可得，720，∴3n﹣3m﹣1＝720，∴3m﹣1（3n﹣m+1﹣1）＝9×80＝32×5×24，则3m﹣1≠5×16，∴3m﹣1＝9，∴m＝3，故选A9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－2(a为常数且a≠0)，则数列{an}（    ）A．是等比数列       B．当a≠1时是等比数列C．从第二项起成等比数列     D．从第二项起成等比数列或等差数列【答案】D【解析】由数列的前的和， 可得当，得； 当，得， 所以数列的通项公式为， 当时等比数列， 当时，是等差数列，故选D．10．已知数列的前项和为，，，则（    ）A．128    B．256    C．512    D．1024【答案】B【解析】∵Sn+1＝2Sn﹣1（n∈N+），n≥2时，Sn＝2Sn﹣1﹣1，∴an+1＝2an．n＝1时，a1+a2＝2a1﹣1，a1＝2，a2＝1．∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2．则a101×28＝256．故选B．11．在正项等比数列中，，．则满足的最大正整数的值为（    ）A．10    B．11    C．12    D．13【答案】C【解析】∵正项等比数列中，，，∴.∵，解可得，或（舍），∴，∵，∴.整理可得，，∴，经检验满足题意，故选C．12．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为（    ）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】设等比数列公比为当时，，不符合题意，当时，，得，又，由，得，，故选D. 二、填空题13．若数列中，，且，则其前项和______.【答案】【解析】依题意，，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，则.故填.14．若等比数列的通项公式是，这个数列的前项之和为______.【答案】【解析】由题意可得，且公比为，因此，该数列的前项和为，故填.15．等比数列为非常数数列，其前n项和是，当时，则公比q的值为_____．【答案】【解析】，则，，则，解得或（舍去）.故填.16．已知数列的前n项和为，则通项公式为_________．【答案】【解析】已知数列的前n项和为， 当时，，当时，，而，不适合上式，所以故填17．设Sn是等比数列的前n项和，若＝，则＝________.【答案】【解析】设等比数列的公比为q，因为，所以)．由＝，得，解得,所以，从而，所以，故填.18．已知数列的首项，，，记，若，则正整数的最大值为__________.【答案】【解析】因为，所以，设，得，与比较得，.所以，又，所以，所以数列为等比数列，所以，所以，所以，若，则，所以，故正整数的最大值为，故填. 三、解答题19．已知等差数列不是常数列，其前四项和为10，且、、成等比数列.（1）求通项公式；（2）设，求数列的前项和.【解析】设等差数列的首项为，公差，  解得： ；（2） ， ， 是公比为8，首项为的等比数列， .20．等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．【解析】（1）设的公比为q，由题有： 解得： 故 （2）若，则，由得，此方程没有正整数解；若，则，由得，，综上：21．记为数列的前项和.已知.（1）求的通项公式；（2）求使得的的取值范围.【解析】（1）由题知，①，当时，当时，②①减②得，，故是以为首项，为公比的等比数列，所以（2）由（1）知，，即等价于易得随的增大而增大而，，，故，22．已知数列的前项和为，，且对任意的正整数，都有，其中常数．设﹒（1）若，求数列的通项公式；（2）若且，设，证明数列是等比数列；（3）若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围．【解析】∵，，∴当时，，从而，，﹒又在中，令，可得，满足上式，所以，﹒（1）当时，，，从而，即，又，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以．（2）当且且时，，又，所以是首项为，公比为的等比数列，﹒（3）在（2）中，若，则也适合，所以当时，．从而由（1）和（2）可知当时，，显然不满足条件，故．当时，．若时，，，，，不符合，舍去．若时，，，，，且．所以只须即可，显然成立．故符合条件；若时，，满足条件．故符合条件；若时，，，从而，，因为．故， 要使成立，只须即可．于是．综上所述，所求实数的范围是．