高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课堂检测

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5.2.1~5.2.2  几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

一、单选题

1．若f（x）=x3，f′（x0）=3，则x0的值是（    ）

A．1    B．﹣1    C．±1    D．

【答案】C

【解析】由于f′(x0)＝3 x02＝3，∴x0＝±1.

故选C

2．质点的运动方程是s=(其中s的单位为m,t的单位为s),则质点在t=3s时的速度为（    ）

A．-4×3-4m/s   B．-3×3-4m/s   C．-5×3-5m/s   D．-4×3-5m/s

【答案】D

【解析】由s=得s′=′=(t-4)′=-4t-5,

s′|t=3=-4×3-5(m/s).

故选D

3．设y＝e3，则y′等于（    ）

A．3e2    B．0    C．e2    D．e3

【答案】B

【解析】因为y＝e3，

所以y′=0,

故选B

4．下列求导运算正确的是（    ）

A．(cos x)'=sin x  B．(2πx2)'=4π2x  C．(ex)'=xex-1   D．(lg x)'=

【答案】D

【解析】对于A, (cos x)'=-sin x,所以选项A错误;对于B, (2πx2)'=2×2πx=4πx,所以选出B错误;对于C, (ex)'=ex,所以选项C错误;对于D, (lg x)'=,所以选项D正确.

故选D

5．函数的导数是（    ）

A．0    B．    C．    D．不确定

【答案】A

【解析】，.

故选A

6．下列求导运算正确的是（    ）

A．        B．   

C．      D．

【答案】D

【解析】A选项，,故错误；

B选项，, 故错误；

C选项，, 故错误；

D选项, ,故正确.

故选D.

7．函数在点处的导数是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】∵，

∴，

∴，

故选D．

8．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线方程为（    ）

A．y＝x－2          B．y＝x 

C．y＝x＋2          D．y＝－x－2

【答案】A

【解析】＝＝，

当Δx→0时，→1.

曲线y＝－在点(1，－1)处的切线的斜率为1，切线方程为y＋1＝1(x－1)，即y＝x－2.

故选A

9．下列求导运算正确的是（    ）

A．      B．

C．       D．

【答案】D

【解析】A.故错误；

B.，故错误；

C.，故错误；

D. ，故正确.

故选D

10．设f0(x)=sinx，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…，fn+1(x)=fn′(x)，n∈N，则f2016(x)=（    ）

A．sinx       B．-sinx       C．cosx       D．-cosx

【答案】A

【解析】因为f0(x)=sinx，

所以f1(x)=(sinx)′=cosx，

f2(x)=(cosx)′=-sinx，

f3(x)=(-sinx)′=-cosx，f4(x)=(-cosx)′=sinx，…，所以fn(x)的周期T=4，所以f2016(x)=f0(x)=sinx.

故选A

11．已知曲线在点处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程为（    ）

A．

B．或

C．或

D．以上均不对

【答案】C

【解析】∵，点在直线上

∴切线的斜率

∴切线的方程为，即

设直线

∵切线与直线平行且距离为

∴

∴

∴直线的方程为或

故选C

12．若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为18.则（    ）

A．64       B．32       C．16       D．8

【答案】A

【解析】求导数可得，所以在点处的切线方程为：，

令x=0，得y＝；令y=0，得x=3a．

所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积 S＝，解得a=64

故选A．

二、填空题

13．已知f(x)=，则f′(16)=_______.

【答案】

【解析】因为f′(x)=,所以f′(16)==.

故填

14．已知f(x)=cosx,，g(x)=x，则关于x的不等式f′(x)+g′(x)≤0的解集为__________.

【答案】

【解析】f′(x)+g′(x)=-sinx+1≤0,

所以sinx≥1,

又sinx≤1,

所以sinx=1,

所以x=+2kπ,k∈Z.

故填

15．曲线y=xn在x=2处的导数为12，则n=____.

【答案】3

【解析】曲线y=xn在x=2处的导数，解得n=3.

故填3

16．设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_____．

【答案】

【解析】设.

对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线上点P处的切线斜率为－1，由，得，则，所以P的坐标为(1，1)．

故填(1,1)

17．曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是       

【答案】

【解析】曲线和y=x2在它们的交点坐标是（1，1），

两条切线方程分别是y=-x+2和y=2x-1，

它们与x轴所围成的三角形的面积是．

故填

18．已知函数 (为常数)，直线l与函数的图象都相切，且l与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1，则的值为_______.

【答案】

【解析】因为，

所以

再由的判别式为零得

故填

三、解答题

19．求曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积.

【解析】因为f′(x)=ex,所以曲线在点(2,e2)处的切线的斜率为k=f′(2)=e2,

切线方程为y-e2=e2(x-2),

即e2x-y-e2=0,

切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(1,0),B(0,-e2),

如图,则切线与坐标轴围成的三角形OAB的面积为×1×e2=.

20．已知曲线y=5，求：

（1）曲线上与直线y=2x-4平行的切线方程.

（2）求过点P(0,5)，且与曲线相切的切线方程.

【解析】（1）设切点为(x0,y0),由y=5,得y′=.

所以切线与y=2x-4平行,

所以=2,所以x0=,所以y0=.

则所求切线方程为y-=2,

即16x-8y+25=0.

（2）因为点P(0,5)不在曲线y=5上,

故需设切点坐标为M(x1,y1),

则切线斜率为.

又因为切线斜率为,

所以==,

所以2x1-2=x1,得x1=4.

所以切点为M(4,10),斜率为,

所以切线方程为y-10=(x-4),

即5x-4y+20=0.

21．已知曲线上一点，求：

（1）点处的切线的斜率；

（2）点处的切线方程．

【解析】（1）由，得，.

∴点处的切线的斜率等于.

（2）点处的切线方程为，即.

22．已知函数，若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．

【解析】，

设两曲线交点的横坐标为，

由已知得

解得．

所以两曲线交点坐标为，切线的斜率为，

所以切线方程为，即．