人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算课时作业

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课时同步练5.2.3  导数的运算法则与简单复合函数求导公式一、单选题1．下列导数运算正确的是（    ）A．      B． C．       D．【答案】B【解析】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D错误．故选B．2．函数的导函数为（    ）A．  B．  C．  D．【答案】D【解析】，故选.3．函数的导数是（    ）A．   B．   C．   D．【答案】B【解析】，.故选B .4．函数在处的切线方程为（    ）A．  B．  C．  D．【答案】C【解析】由已知，则，又时，，则切线方程为.故选C.5．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（    ）A．    B．6    C．12    D．【答案】A【解析】由，得，则曲线在点处的切线斜率为，得.故选A.6．已知函数，则（    ）A．2    B．1    C．0    D．【答案】D【解析】因为，则，所以，则，所以，所以.故选D.7．已知，则其导函数（    ）A．  B．  C．  D．【答案】D【解析】,故选D.8．已知，则为的导函数，则的图象是（    ）A．     B．C．    D．【答案】A【解析】，，函数为奇函数，排除B、D. 又，排除C.故选A9．对于函数，若，则实数等于（    ）A．    B．    C．    D．【答案】A【解析】，，所以，解得，故选A．10．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为贝克时衰变所需时间为（    ）A．20天    B．30天    C．45天    D．60天【答案】D【解析】由得，因为时，该放射性同位素的瞬时变化率为，即，解得，则，当该放射性同位素含量为贝克时，即，所以，即，所以，解得.故选D.11．曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ）A．    B．    C．1    D．或2【答案】B【解析】因为，所以，因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，即，解得.故选B12．若曲线在，两点处的切线互相垂直，则的最小值为（    ）A．    B．    C．    D．【答案】B【解析】，曲线的切线斜率在范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在，两点处的切线斜率必须一个是1，一个是-1.不妨设在A点处切线的斜率为1，则有，，则可得，所以.故选B. 二、填空题13．函数的导函数_________．【答案】【解析】由，得，故填.14．已知函数，则在处的导数________.【答案】【解析】，，.故填.15．若曲线在点的切线方程是，则实数__________．【答案】【解析】，，在处的切线方程为，，解得，故填3.16．设函数在内可导，其导函数为，且，则______.【答案】【解析】因为，令，则，所以，即，所以，因此.故填17．已知，则______.【答案】【解析】，解得，故填.18．定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凸函数”.已知在区间上为“凸函数”，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】在区间上为“凸函数”在上恒成立上恒成立设，，则当且仅当时取得最大值， 故填. 三、解答题19．求导：（1）； （2）【解析】（1）；（2）.20．已知函数.（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点处的切线方程.【解析】（1）因为，所以（2）因为在处的值为1，在处的值为2所以切线方程为，即21．已知函数，求：（1）求及；（2）求函数图象在点处的切线方程及切线与坐标轴围成的三角形的面积.【解析】（1）由，则，.（2），，所以在点处的切线方程为：，整理可得：.令，解得，则，令，解得，则，所以.22．记、分别为函数、的导函数.把同时满足和的叫做与的“Q点”.（1）求与的“Q点”；（2）若与存在“Q点”，求实数a的值.【解析】（1）因为，设为函数与的一个“”点.由且得，解得.所以函数与的“”点是2.（2）因为，设为函数与的一个“”点.由且得，由②得代入①得，所以.所以.