2020-2021学年第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用课前预习ppt课件

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1.会用向量法求线线、线面、面面夹角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系.
XUE XI MU BIAO
知识点一　两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中 的二面角称为平面α与平面β的夹角.
知识点二　空间角的向量法解法
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是
解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
解析　设l与α所成的角为θ，
3.已知平面α的法向量u＝(1,0，－1)，平面β的法向量v＝(0，－1,1)，则平面α与β的夹角为____.
一、两条异面直线所成的角
建立如图所示的空间直角坐标系，
跟踪训练1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，
二、直线与平面所成的角
(1)证明：CM⊥SN；
证明　设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(如图).则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，
(2)求SN与平面CMN所成角的大小.
设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，
取y＝1，得a＝(2,1，－2).设SN与平面CMN所成的角为θ，
利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量u.(3)求平面的法向量n.
跟踪训练2　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的正弦值.
解　以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，
设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，
令a＝1可得n＝(1，－1,2).设A1B与平面AEF所成角为θ，
例3　如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明：O1O⊥平面ABCD；
证明　因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因为AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，所以O1O⊥平面ABCD.
(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值.
解　因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直.如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设棱长为2，因为∠CBA＝60°，
平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，
延伸探究本例不变，求平面B A1C与平面A1CD夹角的余弦值.
设平面BA1C的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
求两平面夹角的两种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同.
跟踪训练3　如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值.
解　如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，
设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)，
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE JIAN MO
空间向量和实际问题典例　如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，甲乙之间拉紧的绳长为d，求库底与水坝所在平面夹角的余弦值.
解　由题意可知AC＝a，BD＝b，CD＝c，AB＝d，
利用空间向量解决实际问题(1)分析实际问题的向量背景，将题目条件、结论转化为向量问题.(2)对于和垂直、平行、距离、角度有关的实际问题，可以考虑建立向量模型，体现了数学建模的核心素养.
1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为
2.已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cs〈m，n〉＝ ，则α与β的夹角为A.30° B.60° C.120° D.150°
解析　设α与β所成的角为θ，且0°≤θ≤90°，
3.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为
解析　如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝1，
5.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为_____.
解析　设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图.则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1).
1.知识清单：(1)两条异面直线所成的角.(2)直线和平面所成的角.(3)两个平面的夹角.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念，把握空间角的范围.
KE TANG XIAO JIE
1.已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为
2.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面夹角为A.45° B.135°C.45°或135° D.90°
即〈m，n〉＝45°.所以两平面的夹角为45°.
3.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝ ，则l与α所成的角为
4.若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的余弦值为
解析　设α与l所成的角为θ，
5.正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为A.30° B.45° C.60° D.90°
解析　如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1).
∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
6.如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为_____.
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，A1P＝x，则O(1,1,0)，P(2，x，2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)，
7.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为________.
解析　如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，
连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，
8.已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于 ________.
解析　如图，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z).
取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3).
9.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.
解　以点A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)，
证明　如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝a，PD＝h，则A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，
10.四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上.(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D，DP，DB⊂平面PDB，∴AC⊥平面PDB，又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.
连接OE，由(1)知AC⊥平面PDB，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，
∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成角的大小为45°.
11.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为
解析　不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，
12.已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为A.60° B.90°C.45° D.以上都不对
解析　以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图.由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，
设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0,1,1)，
设直线与平面A1ED1所成角为θ，则sin θ＝1，所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.
13.在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝____.
解析　平面xOy的法向量n＝(0,0,1)，
14.已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则平面ABD与平面BDC夹角的余弦值为____.
解析　取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系.
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
解析　∵AC＝BC＝2，D是AB的中点，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).
16.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点.
(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值；
解　以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.
(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值；
解　连接DB1，∵∠ADE＝∠ADF，∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上.又四边形B1EDF为菱形，∴DB1为∠EDF的平分线，故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1.由A(0,0,0)，B1(a，0，a)，D(0，a，0)，
(3)求平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值.
设平面B1EDF的一个法向量为n＝(1，y，z)，