数学选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式课文内容课件ppt

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1.掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题.2.掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离.
XUE XI MU BIAO
知识点　点到直线的距离、两条平行线间的距离
思考1　点P (x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离怎样计算？答案　P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|.思考2　两直线都与坐标轴平行，可以利用公式求距离吗？答案　可以. 应用公式时要把直线方程都化为一般式方程.
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.当点P(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式不适用了.(　　)
3.直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.(　　)4.两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.(　　)
例1　(1)求点P(2，－3)到下列直线的距离.
则点P(2，－3)到该直线的距离为
解　3y＝4可化为3y－4＝0，
(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是 的直线l的方程.
解　设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可.(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.
跟踪训练1　(1)点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为______.
(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为________.
例2　(1)求两条平行直线3x＋4y－12＝0与mx＋8y＋6＝0之间的距离；
∴直线6x＋8y＋6＝0即为3x＋4y＋3＝0.
(2)求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线的方程.
解　设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，
解得m＝16或m＝－14.故所求的直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.
延伸探究　把本例(2)改为“直线l与直线3x－4y＋1＝0平行且点P(2,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程”.
解　由直线l平行于直线3x－4y＋1＝0，可设l的方程为3x－4y＋c＝0，
解得c＝21或c＝－9，所以，所求直线方程为3x－4y＋21＝0或3x－4y－9＝0.
求两条平行直线间距离的两种方法(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求.(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝ .
跟踪训练2　(1)已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是
即5x＋12y＋10＝0，
(2)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是______________.
解析　当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为A(1,1)，B(0，－1).
例3　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；
解　如图，显然有00)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于
4.已知直线3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是
解析　∵3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0平行，
5.(多选)已知A(－2，－4)，B(1,5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值可能为A.－3 B.3C.－2 D.1
解得a＝－3或a＝3.
6.若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________.
(1,2)或(2，－1)
解析　设点P的坐标为(a，5－3a)，
所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1).
8.经过点P(－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为_________________________.
x＝－3或7x＋24y
解析　(1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋4＝0.
直线l的方程为7x＋24y－75＝0.综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.
9.求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程.
解　方法一　∵点A(1,1)与B(－3,1)到y轴的距离不相等，∴直线l的斜率存在，设为k.又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l的距离相等，
解得k＝0或k＝1.∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.
方法二　当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等.∵AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P(0,2)，∴直线l的方程是x－y＋2＝0；当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等.∵直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0，∴直线l的方程为y＝2.综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.
10.已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程.
所以中心坐标为(－1,0).
设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.因为正方形中心到各边距离相等，
所以m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0.所以其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0.
11.直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为A.3x－y－13＝0 B.3x－y＋13＝0C.3x＋y－13＝0 D.3x＋y＋13＝0
解析　由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，
由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.
12.过两直线x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
∴两直线交点坐标为(0,1)，由交点到原点的距离为1可知，只有1条直线符合条件.
13.已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是____________.
解析　方法一　由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，
即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，则直线l的方程为2x－y＋1＝0.方法二　由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2x－y＋c＝0，
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
解析　设P(x，y)，A(2，－1)，则点P在直线x＋y－3＝0上，
|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离
15.已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上.若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为
解析　如图所示，结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离.由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3.由两平行线间的距离公式，得l1与l3间的距离
16.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4).(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
解　设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
故A′(－2,8).因为P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
故所求的点P的坐标为(－2,3).
解　A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大.
故所求的点P的坐标为(12,10).