2021学年3.3 抛物线学案

这是一份2021学年3.3 抛物线学案，共9页。

3.3.1 抛物线及其标准方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点M的轨迹方程是( )
A.x+4=0B.x-4=0
C.y2=8xD.y2=16x
解析依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x=-4 的距离,因此其轨迹是抛物线,且p=8,顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,其方程为y2=16x.
答案D
2.已知抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12,则抛物线的标准方程为( )
A.y2=xB.y2=2x
C.y2=4xD.y2=8x
解析由抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12,根据抛物线的定义可得p2=12,∴p=1,所以抛物线的标准方程为y2=2x.故选B.
答案B
3.抛物线y=1ax2的准线方程是y=1,则a的值是( )
A.14B.-14C.4D.-4
解析抛物线y=1ax2的标准方程为x2=ay,其准线方程为y=-a4,又抛物线准线方程为y=1,得1=-a4,解得a=-4.
答案D
4.点M是抛物线y2=2px(p>0)上一点,点F为抛物线的焦点,FM⊥x轴,且|OM|=5,则抛物线的准线方程为( )
A.x=-1B.x=-2
C.y=-1D.y=-2
解析抛物线y2=2px的焦点为Fp2,0,
点M为抛物线上的点,且FM⊥x轴,
∴Mp2,±p;
又|OM|=5,∴p22+p2=5,
解得p=2或p=-2(舍),p2=1,所以抛物线的准线方程为x=-1,故选A.
答案A
5.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A.172B.3C.5D.92
解析由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由图可得,
∴点P到准线x=-12的距离d=|PF|,
易知点A(0,2)在抛物线y2=2x的外部,
连接AF,交y2=2x于点P',
欲使所求距离之和最小,只需A,P',F共线,
∴其最小值为|AF|=(0-12) 2+(2-0)2=172.
答案A
6.已知F为抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A.34B.1C.54D.74
解析抛物线的准线为l:x=-14,过A,B作准线的垂线,垂足为E,G,AB的中点为M,
过M作准线的垂线,垂足为H,因为A,B是该抛物线上的两点,故|AE|=|AF|,|BG|=|BF|,
所以|AE|+|BG|=|AF|+|BF|=3,
所以|MH|=32,故M到y轴的距离为32-14=54,故选C.
答案C
7.与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是 .
解析若动圆在y轴右侧,则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线x=-2的距离相等,其轨迹是抛物线;若动圆在y轴左侧,则动圆圆心轨迹是x轴的负半轴.
答案y2=8x(x>0)或y=0(x<0)
8.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是双曲线x216-m-y2m+20=1的右焦点,则实数p的值为 .
解析因为c2=p22=16-m+m+20=36,所以p=12.
答案12
9.根据下列条件求抛物线的标准方程:
(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2);
(2)焦点在x轴负半轴上,焦点到准线的距离是5.
解(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且-p2=-2,所以p=4,
所以,所求抛物线的标准方程是x2=-8y.
(2)由焦点到准线的距离为5,知p=5,又焦点在x轴负半轴上,
所以,所求抛物线的标准方程是y2=-10x.
10.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点32,6,求抛物线和双曲线的方程.
解设抛物线的方程为y2=2px(p>0),根据点32,6在抛物线上可得62=2p·32,解得p=2.
故所求抛物线方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1.
∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点,
∴c=1,即a2+b2=1.
故双曲线方程为x2a2-y21-a2=1.
∵点32,6在双曲线上,
∴94a2-61-a2=1,解得a2=14或a2=9(舍去).
同时b2=34,故所求双曲线的方程为x214-y234=1.
能力提升练
1.(多选题)对抛物线y=18x2,下列描述正确的是( )
A.开口向上,焦点为(0,2)
B.开口向右,准线方程为x=-132
C.开口向右,焦点为132,0
D.开口向上,准线方程为y=-2
解析抛物线化成标准方程形式x2=8y,可得其开口向上,焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2.
答案AD
2.(2020·浙江温州十校联合体高二期末)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是平面BB1C1C内一动点,若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹是( )
A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线
解析由题意知,直线C1D1⊥平面BB1C1C,则C1D1⊥PC1,即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离,那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离,所以点P的轨迹是抛物线.
答案D
3.(2020·河北保定高三联考)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )
A.y2=9xB.y2=6x
C.y2=3xD.y2=3x
解析如图,分别过A,B作AA1⊥l于A1,
BB1⊥l于B1,由抛物线的定义知:|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,
∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°,
∴∠AFx=60°,连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过F作FF1⊥AA1于F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于K,
则|KF|=|A1F1|=12|AA1|=12|AF|,即p=32,
∴抛物线方程为y2=3x.
答案C
4.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=2π3.设线段AB的中点M在l上的射影为N,则|MN||AB|的最大值是( )
A.3B.32C.33D.34
解析设|AF|=a,|BF|=b,A,B在准线上的射影分别为Q,P,连接AQ,BP(图略).
由抛物线定义,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|.
在四边形ABPQ中,
得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得
|AB|2=a2+b2-2abcs 2π3=a2+b2+ab,
配方得|AB|2=(a+b)2-ab.又∵ab≤a+b22,
∴(a+b)2-ab≥(a+b)2-a+b22=34(a+b)2,
得到|AB|≥32(a+b),∴|MN||AB|≤a+b232(a+b)=33,
即|MN||AB|的最大值为33.
答案C
5.动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过点 .
解析抛物线y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x+2=0,故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离,所以F在圆上.
答案(2,0)
6.在平面直角坐标系xOy中,圆M:(x-1)2+y2=1,点A(3,1),P为抛物线y2=2x上任意一点(异于原点),过点P作圆M的切线PB,B为切点,则|PA|+|PB|的最小值是 .
解析设P(x,y),可得y2=2x,圆M:(x-1)2+y2=1的圆心M(1,0),半径为1,连接PM,如图所示,
|PB|=|PM|2-12=(x-1)2+y2-1=
x2+y2-2x=|x|,
即|PB|为点P到y轴的距离.抛物线的焦点为F12,0,准线方程为x=-12,可得|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-12.过点A作准线的垂线,垂足为K,
可得A,P,K三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值|AK|=72,即有|PA|+|PB|的最小值为3.
答案3
素养培优练
已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求λ的值.
解(1)直线AB的方程是y=22x-p2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,
故x1+x2=5p4.
由抛物线定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即p=4.
故抛物线的方程为y2=8x.
(2)由(1),得p=4,代入4x2-5px+p2=0,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,
则y1=-22,y2=42.
故A(1,-22),B(4,42).
设OC=(x3,y3)=(1,-22)+λ(4,42)=(1+4λ,-22+42λ),
又y32=8x3,即[22(2λ-1)]2=8(4λ+1),
可得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.