数学选择性必修 第一册3.2 双曲线导学案

这是一份数学选择性必修 第一册3.2 双曲线导学案，共8页。
3.2.1 双曲线及其标准方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.曲线上的动点P到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差为6,则曲线方程为( )
A.y29-x27=1
B.y29-x27=1(y0)
解析∵曲线上的动点P到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差为6,
∴动点P的轨迹是以F1(0,4),F2(0,-4)为焦点,实轴长为6的双曲线的下支,
∴曲线方程为y29-x27=1(y0)的左焦点为F1(-5,0),则m=( )
A.9B.3C.16D.4
解析∵双曲线x29-y2m2=1(m>0)的左焦点为F1(-5,0),∴25-m2=9.
∵m>0,∴m=4,故选D.
答案D
4.(多选题)如果方程x2m+2-y2m+1=1表示双曲线,则m的取值可能是( )
A.-4B.-2C.-1D.73
解析要使方程表示双曲线,需(m+2)(m+1)>0,解得m-1.
由选项知AD符合.
答案AD
5.
如图,已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为( )
A.2a+2mB.4a+2m
C.a+mD.2a+4m
解析由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.
又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.
答案B
6.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在( )
A.一个椭圆上B.一个圆上
C.一条抛物线上D.双曲线的一支上
解析由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,
画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,
设圆P的半径为r,∵圆P与圆O和圆M都外切,
∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=10),
则9A-28B=1,72A-49B=1,
解得A=-175,B=-125,
故双曲线的标准方程为y225-x275=1.
答案y225-x275=1
8.已知点F1,F2分别是双曲线x29-y216=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32.则△F1PF2的面积为 .
解析因为点P是双曲线左支上的点,
所以|PF2|-|PF1|=6,
两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中,由余弦定理,得cs ∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|=100-1002|PF1|·|PF2|=0,
所以∠F1PF2=90°,
所以S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|=12×32=16.
答案16
9.若k是实数,试讨论方程kx2+2y2-8=0表示何种曲线.
解当k0,解得-20,解得m2,此时曲线是焦点在y轴上的椭圆,B正确;
若3m2-20)满足如下条件:
①ab=3;
②过右焦点F的直线l的斜率为212,交y轴于点P,线段PF交双曲线于点Q,且|PQ|∶|QF|=2∶1,求双曲线的方程.
解如图所示,设右焦点F(c,0),点Q(x,y),直线l:y=212(x-c).
令x=0,得P0,-212c.
由题意知PQ=2QF,
∴Q23c,-216c,
且Q在双曲线上,
∴23c2a2--216c2b2=1.
∵a2+b2=c2,
∴491+b2a2-712a2b2+1=1,
解得b2a2=3或b2a2=-716(舍去).
又由ab=3,得a2=1,b2=3.
∴所求双曲线方程为x2-y23=1.