高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线学案

双曲线的方程

【要点梳理】

要点一、双曲线的定义

在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.

要点诠释：

1. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；

2. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；

3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；

4. 若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。

要点二、双曲线的标准方程

双曲线的标准方程：

1.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；

2.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中

方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件

方程Ax2+By2=C可化为，即，

所以只有A、B异号，方程表示双曲线。

当时，双曲线的焦点在x轴上；

当时，双曲线的焦点在y轴上。

椭圆、双曲线的区别和联系：

要点三、求双曲线的标准方程

①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

【典型例题】

类型一：双曲线的定义

例1.若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1，0)、A′(1，0)的距离差的绝对值为定值a，求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状．

举一反三：

【变式1】已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线方程为(　　)

A.                    B. (y>0)

C. 或      D. (x>0)

【变式2】双曲线方程：，那么k的取值范围是（   ）

A.(5，+∞)      B.（2,5）      C.（-2,2）      D．（-2,2）∪(5，+∞)

【变式3】已知点F1(0,－13)、F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为（    ）

A．y=0               B．y=0（x≤－13或x≥13）

C．x=0（|y|≥13）      D．以上都不对

例2. 已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程.

举一反三：

【变式1】已知点P(x,y)的坐标满足，

则动点P的轨迹是（    ）

A．椭圆      B．双曲线中的一支      C．两条射线      D．以上都不对

【变式2】动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为(　　)

A．双曲线的一支      B．圆

C．抛物线            D．双曲线

类型二：双曲线的标准方程

例3．已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程。

举一反三：

【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）已知两焦点,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8.

（2）双曲线的一个焦点坐标为，经过点.

【变式2】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且虚轴长与实轴长的比为，焦距为10的双曲线的标准方程.

【变式3】若以为焦点的双曲线过点（2，1），则该双曲线的标准方程为______。

例4．求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程。

举一反三：

【变式】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为（    ）

A.      B.        C.4      D.10

类型三：双曲线与椭圆

例5.讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．

举一反三：

【变式】若双曲线(m>0，n>0)和椭圆(a>b>0)有相同的焦点F1，F2，M为两曲线的交点，则|MF1|·|MF2|等于________．

例6.求以椭圆3x2＋13y2＝39的焦点为焦点，以直线y＝为渐近线的双曲线方程．

举一反三：

【变式1】设双曲线方程与椭圆有共同焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点为A，

且A的纵坐标为4，求双曲线的方程.

【变式2】双曲线与椭圆(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形一定是(　　)

A．锐角三角形      B．直角三角形      C．钝角三角形      D．等腰三角形

【巩固练习】

一、选择题

1．若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是(　　)

A．      B．      C．      D．

2．以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是(　　)

A.      B．      C.      D.

3．双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则实数m=(     )

A.1      B.      C.      D.1 或

4．设θ∈(，π)，则关于x、y的方程 所表示的曲线是(　　)

A．焦点在y轴上的双曲线                B．焦点在x轴上的双曲线

C．焦点在y轴上的椭圆                  D．焦点在x轴上的椭圆

5．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于(　　)

A.　　　B．1　　　C．2　　　D．4

6．已知是双曲线上的一点，是的两个焦点，

若,则的取值范围是（   ）

A.      B.      C.      D.

二、填空题

7．设F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，

则的值为            .

8．过原点的直线l与双曲线的左右两支分别相交于A，B两点，是双曲线C的左焦点，若|FA|+|FB|=4，.则双曲线C的方程为________．

9．如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么a＝________.

10．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．

三、解答题

11. 若椭圆(m>n>0)和双曲线(a>0，b>0)有相同的焦点，P是两曲线的一个交点，求|PF1|·|PF2|的值.

12．如图，已知双曲线的离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，，求双曲线的标准方程．

13．在面积为1的△PMN中，tan∠PMN＝，tan∠MNP＝－2，建立适当坐标系．

求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程．