选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示导学案

空间直角坐标系

要点一、空间直角坐标系

1.空间直角坐标系

从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面.

要点二、空间直角坐标系中点的坐标

1.空间直角坐标系中对称点的坐标

在空间直角坐标系中，点，则有

点关于原点的对称点是；

点关于横轴(x轴)的对称点是；

点关于纵轴(y轴)的对称点是；

点关于竖轴(z轴)的对称点是；

点关于坐标平面的对称点是；

点关于坐标平面的对称点是；

点关于坐标平面的对称点是.

要点三、空间两点间距离公式

1.空间两点间距离公式

空间中有两点，则此两点间的距离

.

特别地，点与原点间的距离公式为.

2.空间线段中点坐标

空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.

【典型例题】

类型一：空间坐标系

例1．画一个正方体ABCD—A1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB、AD、AA1所在直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系。

（1）求各顶点的坐标；

（2）求棱C1C中点的坐标；

（3）求平面AA1B1B对角线交点的坐标。

举一反三：

【变式1】在如图所示的空间直角坐标系中，OABC—D1A1B1C1是单位正方体，N是BB1的中点，

求这个单位正方体各顶点和点N的坐标．

【答案】O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），

D1（0，0，1），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），N（1，1，）。

例2．（1）在空间直角坐标系中，点P（－2，1，4）关于x轴对称的点的坐标是（    ）．

A．（－2，1，－4）      B．（－2，－1，－4）   

C．（2，－1，4）        D．（2，1，－4）

（2）在空间直角坐标系中，点P（－2，1，4）关于xOy平面对称的点的坐标是（    ）．

A．（－2，1，－4）      B．（－2，－l，－4）   

C．（2，－1，4）        D．（2，1，－4）

举一反三：

【变式1】如图，长方体中，|OA|=4，|OC|=6，，与相交于点P，则点P的坐标是（    ）

A．（6，2，1）      B．（1，2，6）

C．（4，6，2）      D．（2，6，1）

类型二：两点间的距离公式

例3．如图所示，在长方体OABC—O1A1B1C1中，|OA|=2，|AB|=3，|AA1|=2，过点O作OD⊥AC于D，求点O1到点D的距离。

【解析】由题意得A（2，0，0），O1（0，0，2），C（0，3，0）

设D（x，y，0）

在Rt△AOC中，|OA|=2，|OC|=3，，

∴

如右图，过点D分别作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，则Rt△ODA与Rt△OMD相似，

可得，∵|OM|=x，∴|OD|2=x·|OA|，∴

同样的，利用Rt△ODC与Rt△ODN相似，

可得．∴

    ∴

举一反三：

【变式1】在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=4，点M在A1C1上，|MC1|=2|A1M1|，

N在C1D上且为C1D的中点，求M、N两点间的距离．

【变式2】在空间直角坐标系中，解答下列各题：

（1）在x轴上求一点P，使它与点P0（4，1，2）的距离为；

（2）在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小．

例4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为平面A1B1C1D1的中心，求证：PA⊥PB1．

例5．正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动。若|CM|=|BN|=a（）。

（1）求MN的长度；

（2）当a为何值时，MN的长度最短。

【解析】因为平面ABCD⊥平面ABEF，且交线为AB，BE⊥AB，所以BE⊥平面ABCD，

所以BA，BC，BE两两垂直。

取B为坐标原点，过BA，BE，BC的直线分别为x轴，y轴和z轴，空间直角坐标系。

因为|BC|=1，|CM|=a，且点M在坐标平面xBz内且在正方形ABCD的对角线上，

所以点

因为点N在坐标平面xBy内且在正方形ABEF的对角线上，|BN|=a，所以点

（1）由空间两点间的距离公式，得：

，

即MN的长度为

（2）由（1）得，当（满足）时，取得最小值，即MN的长度最短，最短为

举一反三：

【变式1】正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为1，M为AC的中点，点N在DD1上运动，求|MN|的最小值.

【巩固练习】

1．点（1，0，2）位于（    ）．

A．y轴上    B．x轴上    C．xOz平面内    D．yOz平面内

2．点P（－1，2，3）关于xOy平面对称的点的坐标是（    ）．

  A．（1，2，3）      B．（－1，－2，3      C．（－1，2，－3）      D．（1，－2，－3）

3．在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于yOz平面对称的点的坐标为（    ）．

  A．（－3，4，5）      B．（－3，－4，5）      C．（3，－4，－5）      D．（－3，4，－5）

4．在空间直角坐标系中，P（2，3，4），Q（－2，－3，－4）两点的位置关系是（    ）．

    A．关于x轴对称        B．关于yOz平面对称

    C．关于坐标原点对称    D．以上都不对

5．已知A（―3，1，―4），B（5，―3，6），设线段AB的中点为M，点A关于x轴的对称点为N，

则|MN|=（    ）

A．3    B．4    C．5    D．6

6．△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），

则△ABC的形状为（    ）．

    A．正三角形    B．锐角三角形    C．直角三角形    D．钝角三角形

7．在空间直角坐标系中，x轴上到点P（4，1，2）的点的距离为的点有（    ）．

    A．0个    B．1个    C．2个    D．无数个

8．到两点A（3，4，5），B（－2，3，0）距离相等的点（x，y，z）的坐标满足的条件是（    ）．

    A．10x+2y+10z－37=0      B．5x－y+5z－37=0

    C．10x－y+10z+37=0       D．10x－2y+10+37=0

9．已知A（4，－7，1），B（6，2，z），若|AB|=10，则z=________．

10．已知点A（1，，－5），B（2，－7，－2），则|AB|的最小值为________．

11．在空间直角坐标系中，已知点A（2，4，―3），B（0，6，―1），则以线段AB为直径的圆的面积等于________．

12．若A（1，2，1），B（2，2，2），点P在x轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为________．

13．（1）在z轴上求与点A（―4，1，7）和B（3，5，―2）等距离的点的坐标．

（2）在yOz平面上，求与点A（3，1，2）、B（4，―2，―2）和C（0，5，1）等距离的点的坐标．

14．如图以正方体的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．

（1）当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；

（2）当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究|PQ|的最小值．