2021学年第二章 直线和圆的方程本章综合与测试学案
展开
这是一份2021学年第二章 直线和圆的方程本章综合与测试学案，文件包含27解析几何初步复习与巩固学生版doc、27解析几何初步复习与巩固教师版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共21页， 欢迎下载使用。
解析几何初步 全章复习与巩固类型一：直线方程的综合问题例1．已知：，求使的的值．【解析】解法一：当直线斜率不存在，即时，有，符合；直线斜率存在时，．故使的的值为或． 例2．求直线关于直线对称的直线的方程． 【解析】在直线上取一点，设A点于的对称点，则，解得，由，解得交点．由两点式可求得直线的方程：． 举一反三：【变式1】由点P（2，3）发出的光线射到直线上，反射后过点Q（1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．【答案】：【解析】设点P关于直线的对称点，则满足条件，解得，∴ 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为，即．类型二：圆的方程的综合问题例3．已知圆C经过点A（2，0）、，且圆心C在直线y=x上．（1）求圆C的方程；（2）过点的直线l截圆所得弦长为，求直线l的方程．【解析】（1）AB的中点坐标，AB的斜率为．可得AB垂直平分线为，与x－y=0的交点为（0，0），圆心坐标为（0，0），半径为2，所以圆C的方程为x2+y2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，又直线l过，∴直线l的方程为，即，则圆心（0，0）到直线的距离，又圆的半径r=2，截得的弦长为，则有，解得：，则直线l的方程为当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或． 举一反三：【变式1】直线被圆C:所截得的弦的中点是，求直线的方程．【答案】 例4．已知：圆C：，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，求：（1）求直线l恒过定点P的坐标；（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程． 【解析】（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，即为m（ 2x+y－7）+（x+y－4）=0，令，则，故直线l恒过点P（3，1）；（2）当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短，此时CP⊥l，圆C：的圆心C（1，2），由直线CP的斜率为 ，即有直线l的斜率为2，即，即，则直线l的方程为2x－y－5=0． 例5．已知圆的方程：，其中a≠1，且a∈R． (1)求证：a≠1，且a∈R时，圆恒过定点； (2)求证圆心总在一条直线上，并求其方程．【解析】(1)证明：方程变为，令 解得，∴ 定点为(1，1)．故圆恒过定点(1，1)．(2)解：易求圆心坐标为(a，2-a)，又设圆心坐标为(x，y)，则消去a，可得，即．故圆心(a，2-a)总在直线x+y-2＝0上． 举一反三：【变式1】求过两圆与的交点和点(3，1)的圆的方程． 【解析】设所求圆的方程为，∵ 点(3，1)在圆上，把(3，1)代入圆的方程求得．∴ 所求圆的方程为．类型三：直线与圆的方程的综合问题例6．已知圆C的圆心为坐标原点O，且与直线相切．（1）求圆C的方程；（2）若与直线垂直的直线与圆C交于不同的两点P、Q，且以PQ为直径的圆过原点，求直线的方程．【解析】（1）由已知圆心到直线的距离为半径，求得半径，∴ 圆的方程为．（2）设直线的方程为x+y+c=0，由已知△OPQ为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式得，求得c=±2．∴ 直线的方程为x+y+2=0或x+y－2=0． 举一反三：【变式1】已知直线过点P(2，4)，且与圆相切，求直线的方程．【解析】当直线斜率不存在时，直线的方程为x＝2，适合题意． 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，∵ 直线与圆相切，∴ ，解得，∴ 直线的方程为． ∴ 直线的方程为或． 【变式2】空间直角坐标系中，在平面内的直线上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小，求出最小值．【解析】设点，则，当时，，此时，点M（1，0，0）． 【巩固练习】1．已知过点和的直线与直线平行，则的值为（ ）A． B． C． D．1. 【答案】B 【解析】2．经过圆的圆心C，且与直线x+y＝0垂直的直线方程是( )A． B． C． D．2．【答案】A 【解析】设直线方程为x-y+m＝0，又过(-1，0)点，代入得m＝l，故直线方程为3．若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x+2y＝0相切，则圆C的方程是( ) A． B． C． D．3．【答案】D【解析】设圆心为(a，0)(a＜0)．因为直线x+2y＝0与圆相切，所以，即，解得．所以圆C的方程为．4．如果圆上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．4．【答案】A 【解析】∵ 圆上总存在两个点到原点的距离为2，∴ 圆O：与圆C：相交，∵ ，由得：，∴ ，∴ 或 5．圆上的点到直线的距离最大值是（ ）A． B． C． D．5. 【答案】B 【解析】圆心为6．若圆C：x2+y2+2x－4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）所作的切线长的最小值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．66．【答案】C【解析】将圆C：x2+y2+2x―4y+3=0化为标准方程得：(x+1)2+(y―2)2=2，∴圆心C（－1，2），半径，∵圆C关于直线2ax+by+6=0对称，∴直线2ax+by+6=0过圆心，将x=―1，y=2代入直线方程得：―2a+2b+6=0，即a=b+3，∵点（a，b）与圆心的距离，∴点（a，b）向圆C所作切线长当且仅当b=－1时弦长最小，最小值为4． 7．在圆的切线中，在两坐标轴上截距绝对值相等的直线共有( )A．4条 B．5条 C．6条 D．8条7．【答案】B 【解析】画出草图观察并计算验证可知这样的直线有5条． 8．过点(-4，0)作直线与圆交于A、B两点，如果|AB|＝8，则x的方程为( ) A．5x+12y+20＝0 B．5x+12y+20＝0或x+4＝0 C．5x-12y+20＝0 D．5x-12y+20＝0或x+4＝08．【答案】B 【解析】当斜率不存在时，方程为x＝-4，此时弦心距为3，半径为5，可得半弦长为4，满足题意；当斜率存在时，设方程为，可求得弦心距为，又半径为5，半弦长为4，可求得，则为． 9．直线与圆(a＜0)相交于两点A，B，弦AB的中点为(1，0)，则直线的方程为________．9．【答案】x-y-1＝0 【解析】该圆的圆心为(-1，2)，圆心与弦AB中点确定的直线应与直线垂直，故斜率乘积应等于-1，可得，所以直线的方程为，即． 10．已知圆C的圆心与点P(-2，1)关于直线y＝x+1对称．直线3x+4y-11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．10．【答案】 【解析】设点P(-2，1)关于直线的对称点为C(a，b)，则，∴ ∴ 圆心C(0，-1)，∴ 圆心C到直线的距离为．又弦长|AB|＝6，由半径、半弦长、弦心距d构成直角三角形得，∴ ．∴ 圆C的方程为． 11．已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：x－y－1=0被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．11．【答案】x+y+1=0【解析】设圆心坐标为（a，0），则由直线被圆C所截得的弦长为，得，解得a=3或－1，∵ 圆心在x轴的负半轴上，∴ a=－1，故圆心坐标为（－1，0），∵直线l的斜率为1，∴ 过圆心且与直线l垂直的直线的方程为y－0=－（x－1），即x+y+1=0 12．设，则直线恒过定点 ．12．【答案】 【解析】变化为对于任何都成立，则。 13．已知圆 ．P（x，y）为圆上任一点，求、x－2y的最大、最小值．13．【解析】圆的圆心，半径为1，表示点（x，y）与点A（1，2）的斜率，设为k，即有kx－y+2－k=0，由直线和圆相切，d=r，即，解得 ，则的最大值为，最小时为；令x－2y=t，由直线和圆相切的条件，可得，解得或，即有x－2y的最大值为，最小值为． 14. 已知曲线C：x2＋y2－4ax＋2ay－20＋20a＝0.(1) 证明：不论a取何实数，曲线C必过一定点；(2) 当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；(3) 若曲线C与x轴相切，求a的值. 14. （1） 曲线C的方程可变形为（x2＋y2－20）＋（－4x＋2y＋20）a＝0.由∴ 点（4，－2）满足C的方程，故曲线C过定点（4，－2）.（2） 原方程配方得（x－2a）2＋（y＋a）2＝5（a－2）2.∵ a≠2时，5（a－2）2＞0，∴ C的方程表示圆心是（2a，－a），半径是|a－2|的圆.设圆心坐标为（x，y），则有消去a，得y＝－x，故圆心必在直线y＝－x上.（3） 由题意得|a－2|＝|a|，解得a＝15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(，2)的入射光线被直线:反射，反射光线交y轴于B点，圆C过点A且与、相切． (1)求所在直线的方程和圆C的方程；(2)设P、Q分别是直线和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标． 15．【解析】(1)直线:，设直线交直线于点D，则．∵ 的倾斜角为30°，∴ 的倾斜角为60°，∴ ，∴ 反射光线所在的直线方程为y-2＝，即．已知圆C与直线相切于点A，设C(a，b)．∵ 圆心C在过点D且与垂直的直线上，则∴ ①．又圆心C在过点A且与直线垂直的直线上，∴ ②．由①、②知b＝-1．又圆C的半径r＝2-(-1)＝3，故所球圆C的方程为．(2)设点B(0，-4)关于直线的对称点为，则，且，联立得：，由点与圆的位置关系知当，P，Q共线，且直线过圆心C时，PB+PQ最小，故PB+PQ的最小值为．设，∵ ∴ 解得 即，PB+PQ的最小值为．
