人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程学案设计

圆的方程

要点一：圆的标准方程

，其中为圆心，为半径.

要点二：点和圆的位置关系

如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有

(1)若点在圆上

(2)若点在圆外

(3)若点在圆内

要点三：圆的一般方程

当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.

要点诠释：

由方程得

(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.

(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.

要点四：几种特殊位置的圆的方程

要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤

求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.

(2)根据已知条件，建立关于或的方程组.

(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.

要点六：轨迹方程

求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．

类型一：圆的标准方程

例1．求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；

(2)已知圆经过两点，圆心在轴上；

(3)经过点，圆心在点．

举一反三：

【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（    ）

A．(x―4)2+(y+1)2=10      B．(x+4)2+(y―1)2=10

C．(x―4)2+(y+1)2=100     D．

例2．求下列各圆的标准方程：

（1）圆心在直线y=0上，且圆过两点A（1，4），B（3，2）；

（2）圆心在直线2x+y=0上，且圆与直线x+y―1=0切于点M（2，―1）．

举一反三：

【变式1】（1）过点且圆心在直线上；

（2）与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为．

类型二：圆的一般方程

例3．已知直线x2+y2―2(t+3)x+2(1―4t2)y+16t4+9=0表示一个圆．

（1）求t的取值范围；

（2）求这个圆的圆心和半径；

（3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．

举一反三：

【变式1】（1）求过的圆的方程，及圆心坐标和半径；

（2）求经过点且与直线相切于点B（8，6）的圆的方程．

【变式2】判断方程ax2+ay2―4(a―1)x+4y=0（a≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．

【变式3】方程表示圆，则a的取值范围是

    A．或    B．    C．    D．

例4．（1）△ABC的三个顶点分别为A（―1，5），B（―2，―2），C（5，5），求其外接圆的方程；

（2）圆C过点P（1，2）和Q（―2，3），且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程．

举一反三：

【变式1】如图，等边△ABC的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．

类型三：点与圆的位置关系

例5．点（a+1，a―1）在圆的内部，则a的取值范围是________．

类型四：轨迹问题

例6．已知曲线C上任意一点到原点的距离与到A（3，―6）的距离之比均为．

（1）求曲线C的方程．

（2）设点P（1，―2），过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于B，C两点，且直线PB和直线PC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．

例7．已知定点A（4，0），P点是圆x2+y2=4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程．