高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课后测评

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设函数的导函数是，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中N0为时钍234的含量．已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（ ）
A．12贝克B．12 ln2贝克C．6贝克D．6 ln2贝克
3．函数的导函数为，若对于定义域为任意，有恒成立，则称为恒均变函数.给出下列函数：
①；②；③；④
其中为恒均变函数的序号是（ ）
A．①③B．①②C．①②③D．①②④
4．设，，，…，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，其导函数为，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
6．函数的导函数为，集合，中有且仅有１个元素，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A．B．
C．D．
8．经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量.一般的，如果函数存在导函数，称为函数的弹性函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数（为常数）的弹性函数是
B．函数的弹性函数是
C．
D．
9．已知，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
10．已知，则的值为___________.
11．若函数是函数的导函数，且满足，则不等式的解集为____________.
12．对于三次函数（）给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算______.
四、解答题
13．求下列函数的导数
（1）； （2）；
（3） ；（4）.
14．已知，函数的导函数为．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的值．
15．记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
（1）证明：函数与不存在“点”；
（2）若函数与存在“点”，求实数的值
16．已知函数，记为的导数，.
（1）求；
（2）猜想的表达式，并证明你的猜想.