数学人教B版 (2019)4.3.1 一元线性回归模型精练

这是一份数学人教B版 (2019)4.3.1 一元线性回归模型精练，共13页。试卷主要包含了已知x,Y的取值如下表等内容，欢迎下载使用。
课后篇巩固提升
基础达标练
1.设两个变量x和Y之间具有线性相关关系,它们的相关系数是r,Y关于x的回归直线方程的回归系数为b^,回归截距是a^,那么必有( )

A.b^与r的符号相同
B.a^与r的符号相同
C.b^与r的符号相反
D.a^与r的符号相反
解析由公式可知b^与r的符号相同.
答案A
2.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:
则Y对x的线性回归方程为( )
A.y^=x-1
B.y^=x+1
C.y^=88+12x
D.y^=176
解析设Y对x的线性回归方程为y^=a^+b^x,
因为b^=-2×(-1)+0×(-1)+0×0+0×1+2×1(-2)2+22=12,a^=y-b^x=176-12×176=88,所以Y对x的回归直线方程为y^=88+12x.
答案C
3.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=12x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为( )
A.-1B.0
C.12D.1
解析因为所有的点都在直线上,所以它就是确定的函数关系,所以相关系数为1.
答案D
4.从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如表所示:
根据上表可得回归直线方程y^=0.56x+a^,据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重约为( )
kg
kg
kg
kg
解析x=160+165+170+175+1805=170,
y=63+66+70+72+745=69.
因为回归直线过点(x,y),
所以将点(170,69)代入y^=0.56x+a^中得a^=-26.2,所以回归直线方程为y^=0.56x-26.2,
代入x=172,则其体重约为70.12 kg.
答案B
5.某商店为了了解热饮销售量y(单位:杯)与气温x(单位:℃)之间的关系,随机统计了某4天卖出的热饮的杯数与当天气温,并制作了表格:
由表中数据算得线性回归方程y^=b^x+a^中的b^≈-2,预测当气温为-5 ℃时,热饮销售量大约为 杯. 已知回归系数b^=∑i=1nxiyi-nx y∑i=1nxi2-nx2,a^=y-b^x
解析根据表格中的数据可求得
x=14×(18+13+10-1)=10,
y=14×(24+34+38+64)=40.
所以a^=y-b^x=40-(-2)×10=60.
所以y^=-2x+60.当x=-5时,
y^=-2×(-5)+60=70(杯).
答案70
6.若回归直线方程中的回归系数b^=0,则相关系数r= .
解析相关系数r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2与b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2的分子相同,故r=0.
答案0
7.已知x,Y的取值如下表:
从散点图分析,Y与x线性相关,且回归直线方程为y^=1.42x+a,则a的取值为 .
解析由已知得x=144=3.5,y=4.5.
又因为回归直线过(x,y),
所以4.5=3.5×1.42+a,
所以a=-0.47.
答案-0.47
8.(2018全国Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:y^=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y=99+17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
解(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y^=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y^=99+17.5×9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y^=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.
(以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可)
能力提升练
1.(2019山东莒县第二中学高考模拟)相关变量x,y的散点图如图所示,现对这两个变量进行线性相关分析,方案一:根据图中所有数据,得到线性回归方程y^=b1x+a1,相关系数为r1;方案二:剔除点(10,21),根据剩下数据得到线性回归直线方程y^=b2x+a2,相关系数为r2.则( )
A.0