高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.1 基本计数原理同步训练题

第三章排列、组合与二项式定理

3.1　排列与组合

3.1.1　基本计数原理

课后篇巩固提升

基础达标练

1.某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复).某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择,其他号码只想在1,3,6,9中选择,则他的车牌号码所有可能的情况有(　　)

A.180种 B.360种 

C.720种 D.960种

解析分五步完成,第i步取第i个号码(i=1,2,3,4,5).由分步乘法计数原理,可得车牌号码共有5×3×4×4×4=960(种).

答案D

2.

如图所示,用四种不同的颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有(　　)

A.288种

B.264种

C.240种

D.168种

解析先涂A,D,E三个点,共有4×3×2=24种涂法,然后按B,C,F的顺序涂色,分为两类:一类是B与E或D同色,共有2×(2×1+1×2)=8种涂法;另一类是B与E和D均不同色,共有1×(1×1+1×2)=3种涂法.故涂色方法共有24×(8+3)=264种.

答案B

3.如果x,y∈N+,且1≤x≤3,x+y<7,则满足条件的有序数对(x,y)的个数是(　　)

A.15 B.12 C.5 D.4

解析当x=1时,y=1,2,3,4,5;当x=2时,y=1,2,3,4;当x=3时,y=1,2,3.由分类加法计数原理得,有序数对有5+4+3=12(个).

答案B

4.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2,且a3<a2,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数的个数为(　　)

A.240 B.204

C.729 D.920

解析分8类.当中间数为2时,有1×2=2(个);

当中间数为3时,有2×3=6(个);

当中间数为4时,有3×4=12(个);

当中间数为5时,有4×5=20(个);

当中间数为6时,有5×6=30(个);

当中间数为7时,有6×7=42(个);

当中间数为8时,有7×8=56(个);

当中间数为9时,有8×9=72(个).

故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240(个).

答案A

5.

如图,从A→C有　　　　　种不同的走法. 

解析分为两类,不过B点有2种方法,过B点有2×2=4种方法,共有4+2=6种方法.

答案6

6.有10本不同的数学书,9本不同的语文书,8本不同的英语书,从中任取两本不同类的书,共有　　　　种不同的取法. 

解析任取两本不同类的书分为三类:①取数学、语文各一本;②取语文、英语各一本;③取数学、英语各一本.在每一类中利用分步乘法计数原理,再利用分类加法计数原理即可.共有10×9+8×9+8×10=242种不同取法.

答案242

7.椭圆=1的焦点在y轴上,且m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为　　　　. 

解析当m=1时,n=2,3,4,5,6,7,有6种取法;当m=2时,n=3,4,5,6,7,有5种不同取法;当m=3时,n=4,5,6,7,有4种不同取法;当m=4时,n=5,6,7,有3种不同取法;当m=5时,n=6,7,有2种不同取法,故这样的椭圆共有6+5+4+3+2=20(个).

答案20

8.将4种蔬菜种植在如图所示的5块试验田里,每块试验田种植一种蔬菜,相邻试验田不能种植同一种蔬菜,不同的种法有　　　　　种.(种植品种可以不全) 

解析分五步,由左到右依次种植,

种法分别为4,3,3,3,3种.

由分步乘法计数原理,不同的种法有4×3×3×3×3=324(种).

答案324

9.某地政府召集5家企业的负责人开会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的情况有多少种?

解分两类完成.

第一类,甲企业有1人发言,有2种情况,另两个发言人来自其余4家企业,有6种情况,由分步乘法计数原理知有2×6=12种情况;

第二类,3人全来自其余4家企业,有4种情况.

根据分类加法计数原理,共有12+4=16种情况.

10.若直线方程Ax+By=0中的A,B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同直线共有多少条?

解分两类完成.

第一类,当A或B中有一个为0时,表示的直线为x=0或y=0,共2条.

第二类,当A,B不为0时,直线Ax+By=0被确定需分两步完成.

第一步,确定A的值,有4种不同的方法;

第二步,确定B的值,有3种不同的方法.

由分步乘法计数原理知,共可确定4×3=12条直线.

由分类加法计数原理知,方程所表示的不同直线共有2+12=14条.

能力提升练

1.(2019浙江高三专题练习)算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具,为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中,以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字,如图:

表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空,如图:

如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示的三位数的个数为(　　)

A.46 B.44 C.42 D.40

解析按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下:(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,0,3),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4),

2根以上的算筹可以表示两个数字,运用分步乘法计数原理,

则上述情况能表示的三位数字个数分别为:

2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2,

根据分类加法计数原理,5根算筹能表示的三位数字个数为

2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44.

故选B.

答案B

2.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)

A.243 B.252 C.261 D.279

解析由分步乘法计数原理知:用0,1,…,9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900个,组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648个,因此组成有重复数字的三位数共有900-648=252.

答案B

3.(2019辽宁实验中学高三月考)高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习,去哪个工厂可以自由选择,但甲工厂必须有班级要去,则不同的参观方案的种数为(　　)

A.16 B.18 C.37 D.48

解析根据题意,若不考虑限制条件,每个班级都有4种选择,共有4×4×4=64种情况.其中工厂甲没有班级去,即每个班都选择了其他三个工厂,此时每个班级都有3种选择,共有3×3×3=27种方案.则符合条件的参观方案有64-27=37种.故选C.

答案C

4.(2019浙江高三专题练习)5名同学在“五一”的4天假期中,随便选择一天参加社会实践,不同的选法种数是              (　　)

A.10 B.60 C.54 D.45

解析5名同学在“五一”的4天假期中,随便选择一天参加社会实践,不同的选法种数是4×4×4×4×4=45,故选D.

答案D

5.联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资,每种物资既可以全部给一个国家,也可以由其中两个或三个国家均分,若每个国家都要有物资援助,则不同的援助方案有　　　　　　种. 

解析由题意知,若每个国家都要有物资援助,需要分为:三个国家粮食和药品都有,有1种方法;

一个国家粮食,两个国家药品,有3种方法;

一个国家药品,两个国家粮食,有3种方法;

两个国家粮食,三个国家药品,有3种方法;

两个国家药品,三个国家粮食,有3种方法;

一个国家粮食和药品,另两个国家各一种,有3×(2+2)=12种方法.

根据分类加法计数原理,方法总数是25.

答案25

6.(2019河北高二期中)某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班,甲、乙、丙、丁四人报名参加,每人只报名参加一项,且甲乙不参加同一项,则不同的报名方法种数为　　　　. 

解析甲有三个培训可选,甲乙不参加同一项,所以乙有两个培训可选,丙、丁各有三个培训可选,根据分步乘法计数原理,不同的报名方法种数为3×2×3×3=54.

答案54

7.由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的三位数,偶数共有　　　　个,其中个位数字比十位数字大的偶数共有　　　　个. 

解析第一空:分2步分析

①要求是没有重复数字的三位偶数,其个位是2、4或6,有3种情况;

②在剩下的5个数字中任选2个,安排在前2个数位,有5×4=20种情况,

则有3×20=60个符合题意的三位偶数.

第二空:分3种情况讨论

①当其个位为2时,十位数字只能是1,百位数字有4种情况,此时有4个符合题意的三位数;

②当其个位为4时,十位数字可以是1,2,3,百位数字有4种情况,此时有3×4=12个符合题意的三位数;

③当其个位为6时,十位数字可以是1,2,3,4,5,百位数字有4种情况,此时有5×4=20个符合题意的三位数.

则有4+12+20=36个符合题意的三位数.

故答案为60,36.

答案60　36

8.某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的共有28人,A型血的共有7人,B型血的共有9人,AB型血的有3人.

(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法?

(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法?

解从O型血的人中选1人有28种不同的选法.从A型血的人中选1人有7种不同的选法,从B型血的人中选1人有9种不同的选法,从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.

(1)任选1人去献血,即无论选择哪种血型的哪一个人,这件“任选1人去献血”的事情都能完成,所以由分类加法计数原理,共有28+7+9+3=47种不同的选法.

(2)要从四种血型的人中各选1人,即要在每种血型的人中依次选出1人后,这件“各选1人去献血”的事情才完成,所以用分步乘法计数原理,共有28×7×9×3=5 292种不同的选法.

素养培优练

　某学校高二年级有12名语文教师、13名数学教师、15名英语教师,市教育局拟召开一个新课程研讨会.

(1)若选派1名教师参会,有多少种派法?

(2)若三个学科各派1名教师参会,有多少种派法?

(3)若选派2名不同学科的教师参会,有多少种派法?

解(1)分三类:第一类选语文老师,有12种不同选法;第二类选数学老师,有13种不同选法;第三类选英语老师,有15种不同选法,共有12+13+15=40种不同的选法.

(2)分三步:第一步选语文老师,有12种不同选法;第二步选数学老师,有13种不同选法;第三步选英语老师,有15种不同选法,共有12×13×15=2 340种不同的选法.

(3)分三类:第一类选一位语文老师和一位数学老师共有12×13种不同的选法;第二类选一位语文老师和一位英语老师共有12×15种不同的选法;第三类选一位英语老师和一位数学老师共有15×13种不同的选法,共有12×13+12×15+13×15=531种不同的选法.