人教B版 (2019)选择性必修 第二册第三章 排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合3.1.2 排列与排列数课时训练

3.1.2　排列与排列数

课后篇巩固提升

基础达标练

1.将两位新同学分到4个班中的两个班,共有的分法种数为(　　)

A.4 B.12 C.6 D.24

解析共有=12种分法.

答案B

2.有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.现把它们摆放成一排,要求2本数学书不能相邻,则这5本书的不同摆放种数是(　　)

A.24 B.36 

C.48 D.72

解析先排语文、物理书,有种方法.然后将数学书插空,有种方法.由分步乘法计数原理,得不同摆放种数为=72.

答案D

3.已知=10,则n的值为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

解析由=10,得(n+1)n-n(n-1)=10,解得n=5.

答案B

4.若直线方程Ax+By=0的系数A,B可以从0,1,2,3,6,7这六个数字中任取两个不同的数值,则这些方程所表示的直线条数是(　　)

A.18 B.20 

C.12 D.22

解析第一类:先考虑除0之外的五个数字,它们可以组成的直线条数为,但由于,

从而不同的直线条数应为-4;

第二类:A,B中恰有一个为0时,所表示的直线为x=0或y=0共2条.

由分类加法计数原理可知,不同的直线条数应为-4+2=18.

答案A

5.甲、乙、丙3名志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两人前面,则不同的安排方法共有(　　)

A.20种 B.30种 

C.40种 D.60种

解析①甲安排在周一,不同的安排方法有=12(种);②甲安排在周二,不同的安排方法有=6(种);③甲安排在周三,不同的安排方法有=2(种).所以共有12+6+2=20种不同的安排方法.故选A.

答案A

6.用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的6位数,其中个位数字小于十位数字,这样的6位数共有(　　)

A.300个 B.464个 

C.600个 D.720个

解析方法一　确定十万位有种不同方法.确定万位、千位、百位,从剩下的5个数字中取3个排列,共有种不同的方法,剩下两个数字,把大的排在十位上即可.由分步乘法计数原理,共有=5×5×4×3=300(个).

方法二　由于个位数字大于十位数字与十位数字大于个位数字的应各占一半,故有=300(个).

答案A

7.满足不等式>12的n的最小值为　　　　　. 

解析由排列数公式得>12,即(n-5)·(n-6)>12,解得n>9或n<2.又n≥7,所以n>9,所以n的最小值为10.

答案10

8.某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,工程丁必须在工程丙完成后立即进行,那么这6项工程有　　　　　种不同的完成顺序. 

解析由题意,工程甲、乙、丙、丁的顺序已确定,且工程丙、丁紧挨着,则只需将余下的2项工程安排好,故这6项工程不同的完成顺序有=20(种).

答案20

9.为配制某种染色剂,需要加入3种有机染料、2种无机染料和2种添加剂,其中有机染料的添加顺序不能相邻.现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响,总共要进行的试验次数为　　　　　.(用数字作答) 

解析先排无机染料和添加剂,有种不同的排法,再排有机染料.因为它们不能相邻,所以用插空的方法排有机染料,有种不同的排法.故共要进行的试验次数为=1 440.

答案1 440

10.某市田径集训队有4名队员,要参加4×100接力比赛,根据队员的训练成绩,甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,则不同的出场顺序有多少种?

解(排除法)若不考虑限制条件,4个队员全排列有=24种排法,减去甲跑第一棒有种排法,乙跑第四棒有种排法,再加上甲在第一棒且乙在第四棒有种排法,共有-2+2=14种不同的出场顺序.

能力提升练

1.(多选)以下选项中,属于排列问题的是(　　)

A.有10个车站,共需要准备多少种车票?

B.有10个车站,共有多少种不同的票价?

C.平面内有10个点,共可作出多少条不同的有向线段?

D.有10个同学,假期约定每两人通电话一次,共需通话多少次?

解析A.有10个车站,共需要准备多少种车票?相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来,属于排列问题;B.有10个车站,共有多少种不同的票价?相当于从10个不同元素任取2个并成一组,与顺序无关,不属于排列问题;C.平面内有10个点,共可作出多少条不同的有向线段?相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来,属于排列问题;D.有10个同学,假期约定每两人通电话一次,共需通话多少次?相当于从10个不同元素任取2个并成一组,与顺序无关,不属于排列问题.故选AC.

答案AC

2.(2020山东潍坊高二检测)《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有(　　)

A.288种 B.144种 C.720种 D.360种

解析根据题意分2步进行分析:①将《将进酒》,《望岳》和另外两首诗词共4首诗词全排列,则有=24种顺序.

∵《将进酒》排在《望岳》的前面,∴这4首诗词的排法有=12种.

②这4首诗词排好后,不含最后,有4个空位,在4个空位中任选2个,安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》,有=12种安排方法.

则后六场的排法有12×12=144种.

故选B.

答案B

3.(多选)(2020山东济南高三月考)6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有(　　)种

A.24 B.36

C. D.

解析第一步:甲、乙两本书必须摆放在两端,有种排法;

第二步:丙、丁两本书必须相邻视为整体与其他两本共三本,有种排法;∴=24.故选AC.

答案AC

4.(2019天津高三检测)某老师一天上3个班级的课,每班一节,如果一天共9节课,上午5节,下午4节,且老师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位老师一天的课表的所有排法有　　　　种. 

解析从9节课中任意安排3节共有=504种,

其中上午5节课连排3节共有3=18种;

下午4节课连排3节共有2=12种.

∴老师一天课表的所有排法共有504-18-12=474种.

答案474

5.(2019山东师范大学附中高二期中)已知=89,则n的值为　　　　　. 

解析由题=90,得(n-5)(n-6)=90,解得n=15.

答案15

6.两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的排法有　　　　种,两位女同学相邻的概率是　　　　. 

解析两位女同学相邻的排法共有=2×6=12种排法,四位同学排成一列共有=4×3×2=24种排法,所以两位女同学相邻的概率P=.

答案12　

7.(2019山西高二月考)某次文艺晚会上共演出7个节目,其中2个歌曲,3个舞蹈,2个曲艺节目,求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种?(用数字作答)

(1)一个歌曲节目开头,另一个歌曲节目放在最后压台;

(2)2个歌曲节目相邻且2个曲艺节目不相邻.

解(1)根据题意,分2步进行分析:

①要求2个歌曲节目1个在开头,另一个在最后,有=2种安排方法,

②将剩下的5个节目全排列,安排在中间,有=120种安排方法,

则一共有2×120=240种安排方法;

(2)根据题意,分3步进行分析:

①2个歌曲节目相邻,将其看成一个整体,有=2种情况,

②将这个整体与3个舞蹈节目全排列,有=24种情况,排好后有5个空位,

③在5个空位中任选2个,安排2个曲艺节目,有=20种情况,

则一共有2×24×20=960种安排方法.

8.用0,1,2,3,4五个数字组成无重复数字的四位数.

(1)有多少个四位偶数?

(2)若按从小到大排列,3 204是第几个数?

解(1)方法一:先排个位数字,分两类:①0在个位时有种;②2或4在个位时按个位、千位、十位和百位的顺序排,有种,故共有=60个四位偶数.

方法二:(间接法)若无限制条件,总排列数为,其中不符合条件的有两类:①0在千位,有种;②1或3在个位,有种,则四位偶数有=60个.

(2)由高位到低位逐级分为:①千位是1或2时,有个;②千位是3时,百位可排0,1或2.(ⅰ)当百位排0,1时,有个,(ⅱ)当百位排2时,比3 204小的仅有3 201一个,故比3 204小的四位数共有+1=61个,3 204是第62个数.

素养培优练

1.解不等式+x≥2.

解由+x≥2,得(x-2)(x-3)+x≥2,

即x2-5x+6+x≥2,

∴x2-4x+4≥0,即(x-2)2≥0,恒成立,∵x-2≥2,∴x≥4.

即不等式的解集为{x|x≥4且x∈N+}.

2.现有5名男生和3名女生站成一排照相.

(1)3名女生站在一起,有多少种不同的站法?

(2)3名女生次序一定,但不一定相邻,有多少种不同的站法?

(3)3名女生不站在排头和排尾,也互不相邻,有多少种不同的站法?

(4)3名女生中,A,B要相邻,A,C不相邻,有多少种不同的站法?

解(1)根据题意,分2步分析:

①3名女生看成一个整体,考虑其顺序有=6种情况,

②将这个整体与5名男生全排列,有=720种情况,

则3名女生排在一起的排法有6×720=4 320种.

(2)根据题意,将5人排到8个位置,有种排法,

由于3名女生次序一定,就一种排法,

则其排法有=6 720种排法.

(3)根据题意,分2步分析:

①将5名男生全排列,有=120种情况,

②除去两端,有4个空位可选,在其中任选3个,安排3名女生,有=24种情况,则3名女生不站在排头和排尾,也互不相邻的排法有120×24=2 880种.

(4)根据题意,分2种情况分析:

①A,B,C三人相邻,则B在中间,A,C在两边,三人有=2种排法,将3人看成一个整体,与5名男生全排列,有=720种情况,则此时有2×720=1 440种排法;

②A,B,C三人不全相邻,先将5名男生全排列,有=120种情况,将A,B看成一个整体,有=2种情况,再和C一起安排在5名男生形成的6个空位中,有种情况.此时有120×2×=7 200种,则3名女生中,A,B要相邻,A,C不相邻的排法有1 440+7 200=8 640种排法.