高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.3.1 一元线性回归模型同步练习题

4.3　统计模型

4.3.1　一元线性回归模型

课后篇巩固提升

基础达标练

1.设两个变量x和Y之间具有线性相关关系,它们的相关系数是r,Y关于x的回归直线方程的回归系数为,回归截距是,那么必有(　　)

A.与r的符号相同 

B.与r的符号相同

C.与r的符号相反 

D.与r的符号相反

解析由公式可知与r的符号相同.

答案A

2.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:

则Y对x的线性回归方程为(　　)

A.=x-1 

B.=x+1

C.=88+x 

D.=176

解析设Y对x的线性回归方程为x,

因为=176-×176=88,所以Y对x的回归直线方程为=88+x.

答案C

3.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为(　　)

A.-1 B.0

C. D.1

解析因为所有的点都在直线上,所以它就是确定的函数关系,所以相关系数为1.

答案D

4.从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如表所示:

根据上表可得回归直线方程=0.56x+,据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重约为(　　)

A.70.09 kg 

B.70.12 kg 

C.70.55 kg 

D.71.05 kg

解析=170,

=69.

因为回归直线过点(),

所以将点(170,69)代入=0.56x+中得=-26.2,所以回归直线方程为=0.56x-26.2,

代入x=172,则其体重约为70.12 kg.

答案B

5.某商店为了了解热饮销售量y(单位:杯)与气温x(单位:℃)之间的关系,随机统计了某4天卖出的热饮的杯数与当天气温,并制作了表格:

由表中数据算得线性回归方程x+中的≈-2,预测当气温为-5 ℃时,热饮销售量大约为　　　　杯. 

解析根据表格中的数据可求得

×(18+13+10-1)=10,

×(24+34+38+64)=40.

所以=40-(-2)×10=60.

所以=-2x+60.当x=-5时,

=-2×(-5)+60=70(杯).

答案70

6.若回归直线方程中的回归系数=0,则相关系数r=　　　　　. 

解析相关系数r=的分子相同,故r=0.

答案0

7.已知x,Y的取值如下表:

从散点图分析,Y与x线性相关,且回归直线方程为=1.42x+a,则a的取值为　　　　　. 

解析由已知得=3.5,=4.5.

又因为回归直线过(),

所以4.5=3.5×1.42+a,

所以a=-0.47.

答案-0.47

8.(2018全国Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y=99+17.5t.

(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.

解(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).

利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

=99+17.5×9=256.5(亿元).

(2)利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下:

(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.

(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.

(以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可)

能力提升练

1.(2019山东莒县第二中学高考模拟)相关变量x,y的散点图如图所示,现对这两个变量进行线性相关分析,方案一:根据图中所有数据,得到线性回归方程=b1x+a1,相关系数为r1;方案二:剔除点(10,21),根据剩下数据得到线性回归直线方程=b2x+a2,相关系数为r2.则(　　)

A.0<r1<r2<1

B.0<r2<r1<1

C.-1<r1<r2<0

D.-1<r2<r1<0

解析由散点图得负相关,所以r1,r2<0.因为剔除点(10,21)后,剩下点数据更具有线性相关性,|r|更接近1,所以-1<r2<r1<0.

答案D

2.(2019北京人大附中高考模拟)如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线,若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大,则应当去掉的点是(　　)

A.D B.E

C.F D.A

解析因为相关系数的绝对值越大,越接近1,则说明两个变量的相关性越强.该图所表示的两个变量是正相关,又因为点E到直线的距离最远,所以去掉点E,余下的5个点所对应的数据的相关系数最大.

答案B

3.(2019河南高二月考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品事先拟定的价格进行试销,得到如下数据.

由表中数据求得线性回归方程=-4x+a,则a=　　　　　,当x=10元时预测销量为　　　　　件. 

解析由题得:

(4+5+6+7+8+9)=,

(90+84+83+80+75+68)=80,

∴a=80+4×=106,

∴x=10⇒=106-40=66.

答案106　66

4.(2019内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二月考)在研究两个变量的线性相关关系时,观察散点图发现样本点集中于某一条曲线y=ebx+a的周围,令z=ln y,求得回归直线方程=0.25x-2.58,则该模型的回归方程为　　　　　. 

解析由回归直线方程=0.25x-2.58得ln y=0.25x-2.58,整理得y=e0.25x-2.58,

所以该模型的回归方程为=e0.25x-2.58.

答案=e0.25x-2.58

5.(2020山东沂水模拟)随着智能手机的普及,使用手机上网成为人们日常生活的一部分,很多消费者对手机流量的需求越来越大.某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求,准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市(总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近)采用不同的定价方案作为试点,经过一个月的统计,发现该流量包的定价x(单位:元/月)和购买人数y(单位:万人)的关系如表:

(1)根据表中的数据,运用相关系数进行分析说明,是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系?并指出是正相关还是负相关;

(2)①求出y关于x的回归方程;

②若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定为25元/月,请用所求回归方程预测该市一个月内购买该流量包的人数能否超过20万人.

参考数据:≈158,≈161,≈164.

参考公式:相关系数r=,回归直线方程x+,其中.

解(1)根据题意,得(30+35+40+45+50)=40,(18+14+10+8+5)=11.

可列表如下

根据表格和参考数据,得(xi-)(yi-)=-160,≈161.

因而相关系数r=≈-0.99.

由于|r|≈0.99很接近1,因而可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系.

由于r<0,故其关系为负相关.

(2)①=-0.64,=11+0.64×40=36.6,

因而y关于x的回归方程为=-0.64x+36.6.

②由①知,若x=25,则=-0.64×25+36.6=20.6,故若将流量包的价格定为25元/月,可预测该市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人.

素养培优练

(2020山东蒙阴实验中学高三期末)某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(单位:元)与生产该产品的数量x(单位:千件)有关,经统计得到如下数据:

根据以上数据,绘制了散点图.

观察散点图,两个变量不具有线性相关关系,现考虑用反比例函数模型y=a+和指数函数模型y=cedx分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为=96.54e-0.2x,ln y与x的相关系数r1=-0.94.参考数据其中ui=:

(1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程;

(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到0.01),并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本;

(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产,即产品全部售出).根据市场调研数据,若该产品单价定为100元,则签订9千件订单的概率为0.8,签订10千件订单的概率为0.2;若单价定为90元,则签订10千件订单的概率为0.3,签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元,根据(2)的结果,企业要想获得更高利润,产品单价应选择100元还是90元,请说明理由.

参考公式:对于一组数据(u1,υ1),(u2,υ2),…,(un,υn),其回归直线υ=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为,相关系数r=.

解(1)令u=,则y=a+可转化为y=a+bu,

因为=45,

所以=100,

则=45-100×0.34=11,

所以=11+100u,

所以y关于x的回归方程为=11+.

(2)y与的相关系数为

r2=

=≈0.99,

因为|r1|<|r2|,

所以用反比例函数模型拟合效果更好,

当x=10时,y=+11=21(元),

所以当产量为10千件时,每件产品的非原料成本为21元.

(3)(ⅰ)若产品单价为100元,记企业利润为X(千元),订单为9千件时,每件产品的成本为元,企业的利润为611(千元),

订单为10千件时,每件产品的成本为31元,企业的利润为690(千元),

企业利润X(千元)的分布列为

所以E(X)=611×0.8+690×0.2=626.8(千元).

(ⅱ)若产品单价为90元,记企业利润为Y(千元),

订单为10千件时,每件产品的成本为31元,企业的利润为590(千元),

订单为11千件时,每件产品的成本为元,企业的利润为659(千元),

企业利润Y(千元)的分布列为

所以E(Y)=590×0.3+649×0.7=638.3(千元),

因为626.8<638.3,故企业要想获得更高利润,产品单价应选择90元.