数学选择性必修 第二册4.2.2 离散型随机变量的分布列当堂检测题

这是一份数学选择性必修 第二册4.2.2 离散型随机变量的分布列当堂检测题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则常数a的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(1,3)或eq \f(2,3)D．－eq \f(1,3)或－eq \f(2,3)
A [由离散型随机变量分布列的性质可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9a2－a＋3－8a＝1，,0≤9a2－a≤1，,0≤3－8a≤1，))解得a＝eq \f(1,3).]
2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(1,2k)，k＝1,2，….则P(2＜X≤4)等于( )
A.eq \f(3,16) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,16) D.eq \f(1,5)
A [2＜X≤4时，X＝3,4.
所以P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq \f(1,23)＋eq \f(1,24)＝eq \f(3,16).]
3．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中c＝2b－a，则P(|X|＝1)等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
D [由条件知，2b＝a＋c.
由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝eq \f(1,3).
∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝1－P(X＝0)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).]
4．若P(X≤n)＝1－a，P(X≥m)＝1－b，其中mA．(1－a)(1－b)B．1－a(1－b)
C．1－(a＋b)D．1－b(1－a)
C [P(m≤X≤n)＝P(X≤n)－P(X≤m)＝1－a－[1－(1－b)]＝1－(a＋b)．]
5．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝eq \f(a,nn＋1)，n＝1,2,3,4，其中a是常数，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))的值为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,6)
D [eq \f(a,1×2)＋eq \f(a,2×3)＋eq \f(a,3×4)＋eq \f(a,4×5)＝a1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)－eq \f(1,5)
＝eq \f(4,5)a＝1，
∴a＝eq \f(5,4).
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝eq \f(5,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)))＝eq \f(5,6).]
二、填空题
6．在射击的试验中，令X＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1 射中,0 未射中))，如果射中的概率为0.8，则随机变量X的分布列为________．
[答案]
7.设离散型随机变量X的概率分布列为：
则P(X≤2)＝________.
eq \f(3,5) [P(X≤2)＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5).]
8．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中2b＝a＋c，且c＝ab，
则这名运动员得3分的概率是________．
eq \f(1,6) [由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,3)，c＝eq \f(1,6)，所以得3分的概率是eq \f(1,6).]
三、解答题
9．设离散型随机变量X的分布列为
试求：
(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
[解] 由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3.
列表为
(1)2X＋1的分布列为
(2)|X－1|的分布列为
10.设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．
[解] (1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，
所以事件A包含的基本事件为
(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有
P(ξ＝0)＝eq \f(1,6)， P(ξ＝1)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)， P(ξ＝4)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)， P(ξ＝9)＝eq \f(1,6).
故ξ的分布列为
11．(多选题)下列问题中的随机变量服从两点分布的是( )
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，取出白球,0，取出红球))
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
BCD [A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，故选BCD.]
12．随机变量ξ的分布列如下．
其中a＋c＝2b，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(5,6)
B [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq \f(1,3).
∵f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，
∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，
∴P(ξ＝1)＝eq \f(1,3).故选B.]
13．(一题两空)随机变量η的分布列如下：
则x＝________，P(η≤3)＝________.
0 0.55 [由分布列的性质得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，
解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.]
14．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次相差为d，则d的取值范围为________．
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3))) [设X的分布列为
由离散型随机变量分布列的基本性质知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－d＋a＋a＋d＝1，,0≤a－d≤1，,0≤a＋d≤1，))解得－eq \f(1,3)≤d≤eq \f(1,3).]
15．从集合{1,2,3,4,5}中，等可能地取出一个非空子集．
(1)记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；
(2)记所取出的非空子集的元素个数为X，求X的分布列．
[解] (1)记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A.
基本事件总数n＝Ceq \\al(1,5)＋Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(5,5)＝31.
事件A包含的基本事件是{1,4,5}，{2,3,5}，{1,2,3,4}，事件A包含的基本事件数m＝3.
所以P(A)＝eq \f(m,n)＝eq \f(3,31).
(2)依题意，X的所有可能值为1,2,3,4,5.
又P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,5),31)＝eq \f(5,31)， P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,5),31)＝eq \f(10,31)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,5),31)＝eq \f(10,31)，P(X＝4)＝eq \f(C\\al(4,5),31)＝eq \f(5,31)，
P(X＝5)＝eq \f(C\\al(5,5),31)＝eq \f(1,31).
故X的分布列为
X
0
1
P
9a2－a
3－8a
X
－1
0
1
P
a
b
c
X
0
1
P
0.2
0.8
X
－1
0
1
2
3
P
eq \f(1,10)
m
eq \f(1,10)
eq \f(1,5)
eq \f(2,5)
X
0
2
3
P
a
b
c
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
ξ
0
1
4
9
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
ξ
0
1
2
P
a
b
c
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.35
0.1
0.15
0.2
X
x1
x2
x3
P
a－d
a
a＋d
X
1
2
3
4
5
P
eq \f(5,31)
eq \f(10,31)
eq \f(10,31)
eq \f(5,31)
eq \f(1,31)