高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.4 随机变量的数字特征习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.4 随机变量的数字特征习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，D(X)的值分别是( )
A．0和1 B．p和p2
C．p和1－p D．p和(1－p)p
D [由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．]
2．已知随机变量X的分布列为
设Y＝2X＋3，则D(Y)＝( )
A.eq \f(8,3) B.eq \f(5,3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,3)
A [∵E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,3)＝1，
∴D(X)＝(0－1)2×eq \f(1,3)＋(1－1)2×eq \f(1,3)＋(2－1)2×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，
∴D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝eq \f(8,3).]
3．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝( )
A.eq \f(15,8) B.eq \f(15,4)
C.eq \f(5,2)D．5
A [两枚硬币同时出现反面的概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，故ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(1,4)))，
因此D(ξ)＝10×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(15,8).故选A.]
4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ceq \\al(k,n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(k)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(n－k)，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为( )
A．8 B．12
C.eq \f(2,9)D．16
A [由题意可知ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n，\f(2,3)))，
∴eq \f(2,3)n＝E(ξ)＝24，∴n＝36.
又D(ξ)＝n×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(2,9)×36＝8.]
5．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq \f(2,3)，P(X＝x2)＝eq \f(1,3)，且x1＜x2，又已知E(X)＝eq \f(4,3)，D(X)＝eq \f(2,9)，则x1＋x2的值为( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(7,3) C．3 D.eq \f(11,3)
C [∵E(X)＝eq \f(2,3)x1＋eq \f(1,3)x2＝eq \f(4,3).∴x2＝4－2x1，
D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)－x1))eq \s\up12(2)×eq \f(2,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)－x2))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,9).
∵x1＜x2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝1，,x2＝2，))∴x1＋x2＝3.]
二、填空题
6．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．
乙 [因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．]
7．一农场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)＝________.
0．196 [因为随机变量ξ～B(10,0.02)，所以D(ξ)＝10×0.02×0.98＝0.196.]
8．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq \f(1,5)，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
eq \f(2,5) [设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,5)＋a＋b＝1，,a＋2b＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,5)，,b＝\f(1,5)，))
所以D(ξ)＝eq \f(1,5)＋eq \f(3,5)×0＋eq \f(1,5)×1＝eq \f(2,5).]
三、解答题
9．海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下．
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．
[解] ∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．
∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；
D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.
∴D(X1)由上可知，A面大钟的质量较好．
10．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数．
(1)求X的分布列、期望及方差；
(2)求Y的分布列、期望及方差．
[解] (1)X的可能取值为0,1,2.
若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,10),C\\al(3,12))＝eq \f(6,11)，同理，有P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,10),C\\al(3,12))＝eq \f(9,22)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,10),C\\al(3,12))＝eq \f(1,22).
∴X的分布列为
∴E(X)＝0×eq \f(6,11)＋1×eq \f(9,22)＋2×eq \f(1,22)＝eq \f(1,2)，
D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(6,11)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(9,22)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,22)＝eq \f(3,22)＋eq \f(9,88)＋eq \f(9,88)＝eq \f(15,44).
(2)Y的可能取值为1,2,3，显然X＋Y＝3.
法一：P(Y＝1)＝P(X＝2)＝eq \f(1,22)，
P(Y＝2)＝P(X＝1)＝eq \f(9,22)，
P(Y＝3)＝P(X＝0)＝eq \f(6,11)，
∴Y的分布列为
E(Y)＝1×eq \f(1,22)＋2×eq \f(9,22)＋3×eq \f(6,11)＝eq \f(5,2)，
D(Y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,22)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(5,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(9,22)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(5,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(6,11)＝eq \f(15,44).
法二：E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝eq \f(5,2)，
D(Y)＝D(3－X)＝(－1)2D(X)＝eq \f(15,44).
11．(多选题)已知 0＜a＜eq \f(1,4)，随机变量ξ的分布列如下．
当 a 增大时，( )
A．E(ξ)增大 B．E(ξ)减小
C．D(ξ)减小 D．D(ξ)增大
AD [0＜a＜eq \f(1,4)，由随机变量ξ的分布列，得：
E(ξ)＝a－eq \f(3,4)，∴当 a 增大时，E(ξ)增大；
D(ξ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－a＋\f(3,4)))eq \s\up12(2)×eq \f(3,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－a＋\f(3,4)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－a＋\f(3,4)))eq \s\up12(2)×a＝－a2＋ eq \f(5,2)a＋eq \f(3,16)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(5,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(7,4)，
∵012．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝( )
A．0.7B．0.6
C．0.4 D．0.3
B [由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.
又因为P(X＝4)＜P(X＝6)，
所以Ceq \\al(4,10)p4(1－p)6＜Ceq \\al(6,10)p6(1－p)4，所以p＞0.5，所以p＝0.6.故选B.]
13．(一题两空)设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．
eq \f(1,2) 5 [由独立重复试验的方差公式可以得到
D(ξ)＝np(1－p)≤neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p＋1－p,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(n,4)，等号在p＝1－p＝eq \f(1,2)时成立，所以D(ξ)max＝100×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝25，eq \r(Dξmax)＝eq \r(25)＝5.]
14．变量ξ的分布列如下：
其中a＋c＝2b，若E(ξ)＝eq \f(1,3)，则D(ξ)的值是________．
eq \f(5,9) [由条件可知2b＝a＋c，
又a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝eq \f(1,3)，a＋c＝eq \f(2,3).
又E(ξ)＝－a＋c＝eq \f(1,3)，∴a＝eq \f(1,6)，c＝eq \f(1,2)，
故ξ的分布列为
∴D(ξ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－\f(1,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,9).]
15．在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件测量该产品中某种元素的含量(单位：毫克)．如图所示的是测量数据的茎叶图．
规定：当产品中的此种元素含量≥15毫克时为优质品．
(1)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数)；
(2)从乙地抽取的上述10件产品中随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品件数ξ的分布列及方差D(ξ)．
[解] (1)甲地抽取的样本中优质品有7件，优质品率为eq \f(7,10).乙地抽取的样本中优质品有8件，优质品率为eq \f(8,10)＝eq \f(4,5).
(2)ξ的所有可能值为1,2,3，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,8)·C\\al(2,2),C\\al(3,10))＝eq \f(1,15)，P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,8)·C\\al(1,2),C\\al(3,10))＝eq \f(7,15)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(3,8)·C\\al(0,2),C\\al(3,10))＝eq \f(7,15)，所以ξ的分布列为
所以E(ξ)＝1×eq \f(1,15)＋2×eq \f(7,15)＋3×eq \f(7,15)＝eq \f(12,5)，
所以ξ的方差D(ξ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(12,5)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,15)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(12,5)))eq \s\up12(2)×eq \f(7,15)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(12,5)))eq \s\up12(2)×eq \f(7,15)＝eq \f(28,75).X
0
1
2
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
X1
－2
－1
0
1
2
P
0.05
0.05
0.8
0.05
0.05
X2
－2
－1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
X
0
1
2
P
eq \f(6,11)
eq \f(9,22)
eq \f(1,22)
Y
1
2
3
P
eq \f(1,22)
eq \f(9,22)
eq \f(6,11)
ξ
－1
0
1
P
eq \f(3,4)
eq \f(1,4)－a
a
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
ξ
－1
0
1
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(1,2)
ξ
1
2
3
P
eq \f(1,15)
eq \f(7,15)
eq \f(7,15)