高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.1 基本计数原理综合训练题

课时分层作业(二)　基本计数原理的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是(　　)

A．2 160　　　　 B．720

C．240　 D．120

B　[第1张门票有10种分法，第2张门票有9种分法，第3张门票有8种分法，由分步计数原理得共有10×9×8＝720(种)分法．]

2．用0,1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)

A．243　 B．252

C．261　 D．648

B　[0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．]

3．某城市的电话号码由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是(　　)

A．9×8×7×6×5×4×3×2

B．8×96

C．9×106

D．8.1×106

D　[电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，同理升为七位时为9×106，∴可增加的电话数是9×106－9×105＝8.1×106.故选D.]

4．有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的选派方法有(　　)

A．6种　 B．5种

C．4种　 D．3种

C　[不同的选派情况可分为3类：若选甲、乙，有2种方法；若选甲、丙，有1种方法；若选乙、丙，有1种方法．根据分类加法计数原理知，不同的选派方法有2＋1＋1＝4(种)．]

5．有四位教师在同一年级的四个班各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有(　　)

A．8种　 B．9种

C．10种　 D．11种

B　[设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d.若A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法．同理，若A监考c，d时，也分别有3种不同方法．由分类加法计数原理，得监考方法共有3＋3＋3＝9(种)．]

二、填空题

6．小张正在玩一款种菜的游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________种．

48　[当第一块地种茄子时，有4×3×2＝24种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有4×3×2＝24种不同的种法，故共有48种不同的种植方案．]

7．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有不同的取法______种．

242　[取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9＝90(种)不同取法；

取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8＝72(种)不同取法；

取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8＝80(种)不同取法．

综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90＋72＋80＝242(种)不同取法．]

8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．

20　[分三类：若甲在周一，则乙丙有4×3＝12种排法；若甲在周二，则乙丙有3×2＝6种排法；若甲在周三，则乙丙有2×1＝2种排法．所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20种．]

三、解答题

9．如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，不同的涂色方法共有多少种？(用数字作答)

[解]　不妨将图中的4个格子依次编号为①②③④，当①③同色时，有6×5×1×5＝150种方法；当①③异色时，有6×5×4×4＝480种方法．所以共有150＋480＝630种方法．

10．用数字1,2,3,4,5,6组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数列．

(1)求这个数列的项数；

(2)求这个数列中的第89项的值．

[解]　　(1)完成这件事需要分别确定百位、十位和个位数，可以先确定百位，再确定十位，最后确定个位，因此要分步相乘．

第一步：确定百位数，有6种方法．

第二步：确定十位数，有5种方法．

第三步：确定个位数，有4种方法．

根据分步乘法计数原理，共有

N＝6×5×4＝120个三位数．

所以这个数列的项数为120.

(2)这个数列中，百位是1,2,3,4的共有4×5×4＝80个，

百位是5的三位数中，十位是1或2的有4＋4＝8个，

故第88项为526，故从小到大第89项为531.

11.一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有(　　)

A．6种 B．8种

C．12种 D．48种

D　[每个景区都有2条线路，所以游览第一个景点有6种选法，游览第二个景点有4种选法，游览第三个景点有2种选法，故共有6×4×2＝48种不同的游览线路．]

12.如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为(　　)

A．96　　　 B．84　　　

C．60 D．48

B　[可依次种A，B，C，D四块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36种种法；当C与A所种花不同时，有4×3×2×2＝48种种法．

由分类加法计数原理，不同的种法种数为36＋48＝84.]

13．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By＝0的系数A，B的值，则形成的不同直线有______条．

18　[第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B＝2时与A＝2，B＝4时是相同的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条．]

14．(一题两空)从2,3,5,7,11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________．

20　10　[产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5×4＝20个分数．产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3,5,7时，真分数的个数分别是3,2,1，共有4＋3＋2＋1＝10个真分数．]

15．用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在①，②，③，④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．

(1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同方法？

(2)若为乙着色时共有120种不同方法，求n的值．

[解]　完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①，②，③，④着色时各自的方法数，再由分步乘法计数原理确定总的着色方法数．

(1)为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也有4种方法．所以共有着色方法6×5×4×4＝480种．

(2)与(1)的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是n(n－1)(n－2)(n－3)．由n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，所以(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0.

即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0.所以n2－3n－10＝0.所以n＝5.