第4章 4.2 4.2.4　第1课时　离散型随机变量的均值-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册讲义

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某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
1．均值或数学期望
(1)定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示．
则称
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \(\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))xipi)为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)．
(2)意义：它刻画了X的平均取值．
(3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝ax＋b(a≠0)，
则E(Y)＝aE(x)＋b.
拓展：随机变量的均值公式与加权平均数的联系
加权平均数，假设随机试验进行了n次，根据X的概率分布，在n次试验中，x1出现了p1n次，x2出现了p2n次，…，xn出现了pnn次，故在n次试验中，X出现的总次数为p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn.因此n次试验中，X出现的平均值等于eq \f(p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn,n)＝E(X)．
故E(X)＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn.
2．两点分布、二项分布及超几何分布的均值
(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝p.
(2)若X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np；
(3)若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X～H(N，n，M)，则E(X)＝eq \f(nM,N).
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．
( )
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平．( )
(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4.( )
(4)随机变量X的均值E(X)＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n).( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．若随机变量X的分布列为
则E(X)＝( )
A．0 B．－1
C．－eq \f(1,6)D．－eq \f(1,2)
C [E(X)＝－1×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,3)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝－eq \f(1,6).故选C.]
3．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________.
35 [E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.]
4．(一题两空)若随机变量X服从二项分布Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,3)))，则E(X)的值为________；若随机变量Y～H(10,3,5)，则E(Y)＝________.
eq \f(4,3) eq \f(3,2) [E(X)＝np＝4×eq \f(1,3)＝eq \f(4,3)，E(Y)＝eq \f(3×5,10)＝eq \f(3,2).]
【例1】 (1)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为eq \f(6,7)，则口袋中白球的个数为( )
A．3 B．4
C．5D．2
(2)(一题两空)某运动员投篮命中率为p＝0.6，则
①投篮1次时命中次数X的数学期望为________；
②重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望为________．
(1)A (2)①0.6 ②3 [(1)设白球x个，则取出的2个球中所含白球个数为ξ～H(7,2，x), E(ξ)＝eq \f(2x,7)＝eq \f(6,7)，∴x＝3.故选A.
(2)①投篮1次，命中次数X的分布列如下表：
则E(X)＝0.6.
②由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.]
常见的三种分布的均值
1．设p为一次试验中成功的概率，则
(1)两点分布E(X)＝p；
(2)二项分布E(X)＝np.
2．超几何分布E(X)＝eq \f(nM,N)，其中X～H(N，n，M)．
熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．
eq \([跟进训练])
1．(1)篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________．
(2)设离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ceq \\al(k,300)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(k)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(300－k) (k＝0,1,2，…，300)，则E(X)＝________.
(1)0.8 (2)100 [(1)因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.
(2)由P(X＝k)＝Ceq \\al(k,300)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(k)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(300－k)，
可知X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(300，\f(1,3)))，∴E(X)＝300×eq \f(1,3)＝100.]
【例2】 已知随机变量X的分布列为
若Y＝－2X，则E(Y)＝________.
eq \f(17,15) [由随机变量分布列的性质，得
eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)＋m＋eq \f(1,20)＝1，解得m＝eq \f(1,6)，
∴E(X)＝(－2)×eq \f(1,4)＋(－1)×eq \f(1,3)＋0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,20)＝－eq \f(17,30).
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，
即E(Y)＝－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,30)))＝eq \f(17,15).]
(变结论)本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－eq \f(11,2)，求a的值．
[解] E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－eq \f(17,30)a＋3＝－eq \f(11,2)，
所以a＝15.
若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数.一般思路是先求出EX，再利用公式EaX＋b＝aEX＋b求Eξ.也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得Eξ.
eq \([跟进训练])
2．已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
A [因为η＝12ξ＋7，则E(η)＝12E(ξ)＋7，
即E(η)＝12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1×\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×\f(1,12)))＋7＝34.
所以2m＋3n＝eq \f(5,3)，①
又eq \f(1,4)＋m＋n＋eq \f(1,12)＝1，
所以m＋n＝eq \f(2,3)，②
由①②可解得m＝eq \f(1,3).]
【例3】 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值．
[思路点拨] (1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值．
[解] 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．
(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则eq \x\t(A)表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝1－eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,6))
＝1－eq \f(1,5)＝eq \f(4,5).
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且
P(ξ＝0)＝eq \f(5,C\\al(2,6))＝eq \f(1,3)，P(ξ＝1)＝eq \f(4,C\\al(2,6))＝eq \f(4,15)，P(ξ＝2)＝eq \f(3,C\\al(2,6))＝eq \f(1,5)，P(ξ＝3)＝eq \f(2,C\\al(2,6))＝eq \f(2,15)，P(ξ＝4)＝eq \f(1,C\\al(2,6))＝eq \f(1,15).
从而知ξ的分布列为
所以E(ξ)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(4,15)＋2×eq \f(1,5)＋3×eq \f(2,15)＋4×eq \f(1,15)＝eq \f(4,3).
求离散型随机变量ξ的数学期望的步骤
(1)根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值．
(2)求出ξ的每个值的概率．
(3)写出ξ的分布列．
(4)利用定义求出数学期望．
其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识．
eq \([跟进训练])
3．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望．
[解] X可取的值为1,2,3，
则P(X＝1)＝eq \f(3,5)，P(X＝2)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,10)，
P(X＝3)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,4)×1＝eq \f(1,10).
抽取次数X的分布列为
E(X)＝1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(3,2).
[探究问题]
1．如果某篮球运动员的罚球命中率为0.7，则其罚球10次大约能命中几个球？
[提示] 10×0.7＝7个球．
2．在实际问题中，为什么用样本均值来估计总体均值？
[提示] 随机变量总体的均值是一个常量，而样本均值是一个变量，它常随样本的不同而变化，但当样本容量趋于无穷大时，样本均值就越来越接近于总体的均值，故我们常用样本均值估计总体均值．
【例4】 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
[思路点拨] eq \x(\s\up(根据利润的意义,写出X的取值))→eq \x(写出X的分布列)→eq \x(\s\up(求出数学,期望EX))
→eq \x(\s\up(利用期望,回答问题))
[解] (1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.
P(X＝6)＝eq \f(126,200)＝0.63，
P(X＝2)＝eq \f(50,200)＝0.25，
P(X＝1)＝eq \f(20,200)＝0.1，
P(X＝－2)＝eq \f(4,200)＝0.02.
故X的分布列为
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．
依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
1．实际问题中的期望问题
均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计．
2．概率模型的三个解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望．
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
eq \([跟进训练])
4．甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环．将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示．
(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；
(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)．
[解] (1)由图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35，
所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.
同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.
P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.
(2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×
0.35＝8.8，
E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，
则有E(X甲)>E(X乙)，所以估计甲的水平更高．
1．求离散型随机变量均值的步骤：
(1)确定离散型随机变量X的取值；
(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；
(3)根据公式写出均值．
2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．
3．若随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝np，若随机变量Y～H(N，n，M)，则E(Y)＝eq \f(nM,N).
1．一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X的数学期望是( )
A．0.83 B．0.8
C．2.4D．3
C [E(X)＝3×0.8＝2.4.]
2．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到次品数的数学期望值是( )
A．n B．(n－1)eq \f(M,N)
C.eq \f(nM,N)D．(n＋1)eq \f(M,N)
C [∵抽到的次品数X～H(N，n，M)，
∴抽到次品数的数学期望值E(X)＝eq \f(nM,N).]
3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
0.4 [依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋0.1＋0.3＋y＝1，,7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0.6，,7x＋10y＝5.4，))解得y＝0.4.]
4．已知E(X)＝eq \f(5,3)，且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a＝________.
－3 [∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝eq \f(5,3)a＋3＝－2，∴a＝－3.]
5．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值．
[解] 设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p＝0.6.
(1)设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.
故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.
(2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为
(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2.
∴X～B(100,0.2)，∴E(X)＝100×0.2＝20.
∴X的均值是20.学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)
2．掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值．(重点)
3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)
1．通过学习离散型随机变量的均值，体会数学抽象的素养．
2．借助数学期望公式解决问题，提升数学运算的素养.
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
求离散型随机变量的数学期望
X
0
1
P
0.4
0.6
离散型随机变量均值的性质
X
－2
－1
0
1
2
P
eq \f(1,4)
eq \f(1,3)
eq \f(1,5)
m
eq \f(1,20)
ξ
1
2
3
4
P
eq \f(1,4)
m
n
eq \f(1,12)
求离散型随机变量的均值
ξ
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,3)
eq \f(4,15)
eq \f(1,5)
eq \f(2,15)
eq \f(1,15)
X
1
2
3
P
eq \f(3,5)
eq \f(3,10)
eq \f(1,10)
离散型随机变量的均值实际应用
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y