第4章 4.2 4.2.4　第2课时　离散型随机变量的方差-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册讲义

这是一份第4章 4.2 4.2.4　第2课时　离散型随机变量的方差-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册讲义，共3页。
山东省要从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加第十四届全运会，根据以往数据，这两名运动员射击环数分布列如下所示．
问题：如果从平均水平和发挥稳定性角度分析，你认为派谁参加全运会更好一些？
1．离散型随机变量的方差与标准差
(1)定义：如果离散型随机变量X的分布列如下表所示．
则D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝eq \(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1))[xi－E(X)]2pi，称为离散型随机变量X的方差；eq \r(DX)称为离散型随机变量X的标准差．
(2)意义：方差和标准差均刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小)．
(3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则D(Y)＝a2D(X)．
2．两点分布及二项分布的方差
(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(2)若随机变量X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
思考：两点分布与二项分布的方差间存在怎样的联系．
[提示] 由于两点分布是特殊的二项分布，故两者之间是特殊与一般的关系．即若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)，取n＝1，则D(X)＝p(1－p)就是两点分布的方差．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值．( )
(2)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平．( )
(3)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平．( )
(4)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．设随机变量ξ的方差D(ξ)＝1，则D(2ξ＋1)的值为( )
A．2 B．3
C．4D．5
C [因为D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×1＝4，故选C.]
3．若随机变量ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2)))，则D(ξ)＝________.
1 [∵ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2)))，∴D(ξ)＝4×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝1.]
4．已知随机变量X的分布列为
则X的标准差为________．
eq \f(\r(89),5) [E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
∴D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋
(5－3.2)2×0.5＝3.56.
∴X的标准差为eq \r(DX)＝eq \r(3.56)＝eq \f(\r(89),5).]
【例1】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、均值和方差；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．
[思路点拨] (1)根据题意，由古典概型的概率公式求出分布列，再利用均值、方差的公式求解．
(2)运用E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)，求a，b.
[解] (1)X的分布列为
∴E(X)＝0×eq \f(1,2)＋1×eq \f(1,20)＋2×eq \f(1,10)＋3×eq \f(3,20)＋4×eq \f(1,5)＝1.5.
D(X)＝(0－1.5)2×eq \f(1,2)＋(1－1.5)2×eq \f(1,20)＋(2－1.5)2×eq \f(1,10)＋(3－1.5)2×eq \f(3,20)＋(4－1.5)2×eq \f(1,5)＝2.75.
(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.
又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝4))即为所求．
1．求离散型随机变量X的方差的基本步骤
eq \x(理解X的意义，写出X可能取的全部值)
↓
eq \x(写出X取每个值的概率)
↓
eq \x(写出X的分布列)
↓
eq \x(由均值的定义求出EX)
↓
eq \x(利用公式DX＝\(∑,\s\up8(n),\s\d6(i＝1)) xi－EX2pi求值)
2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．
eq \([跟进训练])
1．(1)已知随机变量X的分布列为
若E(X)＝eq \f(15,8)，则D(X)等于( )
A.eq \f(33,64) B.eq \f(55,64)
C.eq \f(7,32) D.eq \f(9,32)
(2)已知X的分布列如下．
①求X2的分布列；
②计算X的方差；
③若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
(1)B [由分布列的性质得x＋y＝0.5，又E(X)＝eq \f(15,8)，所以2x＋3y＝eq \f(11,8)，解得x＝eq \f(1,8)，y＝eq \f(3,8)，所以D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(15,8)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(15,8)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,8)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(15,8)))eq \s\up12(2)×eq \f(3,8)＝eq \f(55,64).]
(2)[解] ①由分布列的性质，知eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋a＝1，故a＝eq \f(1,4)，从而X2的分布列为
②由①知a＝eq \f(1,4)，所以X的均值E(X)＝(－1)×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,4)＋1×eq \f(1,4)＝－eq \f(1,4).故X的方差D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(1,4)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋\f(1,4)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,4)＝eq \f(11,16).
③E(Y)＝4E(X)＋3＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＋3＝2，
D(Y)＝16D(X)＝11.
【例2】 某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是eq \f(1,3).
(1)求这位司机遇到红灯次数X的均值与方差；
(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y的均值与方差．
[解] (1)由题意知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(1,3)))，
∴E(X)＝6×eq \f(1,3)＝2，D(X)＝6×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(4,3).
(2)由已知得Y＝30X，
∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1 200.
1．如果随机变量X服从两点分布，那么其方差D(X)＝p(1－p)(p为成功概率)．
2．如果随机变量C服从二项分布，即X～B(n，p)，那么方差D(X)＝np(1－p)，计算时直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．
eq \([跟进训练])
2．(1)设一随机试验的结果只有A和eq \x\t(A)，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，A发生，,0，A不发生，))则ξ的方差D(ξ)等于( )
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1)D．m(1－m)
(2)若随机变量X～B(3，p)，D(X)＝eq \f(2,3)，则p＝________.
(1)D (2)eq \f(1,3)或eq \f(2,3) [(1)随机变量ξ的分布列为
∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.
∴D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．
(2)∵X～B(3，p)，
∴D(X)＝3p(1－p)，
由3p(1－p)＝eq \f(2,3)，得p＝eq \f(1,3)或p＝eq \f(2,3).]
[探究问题]
1．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表．
A机床
B机床
试求E(X1)，E(X2)．
[提示] E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.
E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.
2．在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？
[提示] 不能．因为E(X1)＝E(X2)．
3．在探究1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？
[提示] 利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．
【例3】 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
[思路点拨] (1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．
(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．
[解] (1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列如下表所示．
(2)由(1)得：
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)D(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高.
1．求离散型随机变量的方差的类型及解决方法
(1)已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下，
①求均值；②求方差．
(2)已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，
①若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后求方差．
(4)对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
2．解答离散型随机变量的实际应用问题的关注点
(1)分析题目背景，根据实际情况抽象出概率模型，特别注意随机变量的取值及其实际意义．
(2)弄清实际问题是求均值还是方差，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析．
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计( )
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较
B [∵D(X甲)>D(X乙)，
∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．]
2．设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为( )
A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1
B [由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，
∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.]
3．已知随机变量X，且D(10X)＝eq \f(100,9)，则X的标准差为________．
eq \f(1,3) [由题意可知D(10X)＝eq \f(100,9)，
即100D(X)＝eq \f(100,9)，∴D(X)＝eq \f(1,9)，
∴eq \r(DX)＝eq \f(1,3).即X的标准差为eq \f(1,3).]
4．一批产品中，次品率为eq \f(1,3)，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D(X)的值为________．
eq \f(8,9) [由题意知X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,3)))，所以D(X)＝4×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(8,9).]
5．已知离散型随机变量X的分布列如下表．
若E(X)＝0，D(X)＝1，求a，b，c的值．
[解] 由题意，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＋\f(1,12)＝1，,－1×a＋0×b＋1×c＋2×\f(1,12)＝0，,－1－02×a＋0－02×b＋1－02×c＋2－02×\f(1,12)＝1，))
解得a＝eq \f(5,12)，b＝c＝eq \f(1,4).学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．(重点)
2．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差．(重点)
3．会用方差解决一些实际问题．(难点)
1．通过学习离散型随机变量的方差、标准差，体会数学抽象的素养．
2．借助方差的性质及两点分布、二项分布的方差解题，提高数学运算的素养.
甲的环数
8
9
10
P
0.2
0.6
0.2
乙的环数
8
9
10
P
0.3
0.4
0.3
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
X
1
3
5
P
0.4
0.1
0.5
离散型随机变量的方差
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,20)
eq \f(1,10)
eq \f(3,20)
eq \f(1,5)
X
1
2
3
P
0.5
x
y
X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,4)
a
X2
0
1
P
eq \f(1,4)
eq \f(3,4)
两点分布、二项分布的方差
ξ
0
1
P
1－m
m
期望、方差的综合应用
次品数X1
0
1
2
3
P
0.7
0.2
0.06
0.04
次品数X2
0
1
2
3
P
0.8
0.06
0.04
0.10
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
eq \f(1,12)