第2章 2.2.1　直线的倾斜角与斜率-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

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我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，…我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．
(2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0°．
(3)倾斜角α的范围为[0°，180°)．
2．直线的倾斜角与斜率
一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上l两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则：
(1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝0°．
(2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝90°．
(3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan θ＝eq \f(y2－y1,x2－x1)．
思考1：当x1≠x2且y1＝y2时，(3)式中的式子成立吗？
[提示] 成立．
(4)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率，当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在．
(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)．
思考2：运用(5)中公式计算直线AB的斜率时，需要考虑A、B的顺序吗？
[提示] kAB＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝kBA＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，所以直线AB的斜率与A、B两点的顺序无关．
思考3：直线的斜率与倾斜角是一一对应的吗？
[提示] 不是，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．
3．直线的方向向量
(1)一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l．
(2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线．
(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则eq \(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量．
思考4：设l是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45°，你能写出该直线的方向向量吗？
[提示] (1,1)．
(4)一般地，如果已知a＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则：
①当u＝0时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为90°．
②当u≠0时，直线l的斜率存在，且(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而k＝eq \f(v,u)，tan θ＝eq \f(v,u)．
4．直线的法向量
一般地，如果表示非零向量υ的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量υ为l的一个法向量，记作υ⊥l．
思考5：如果a＝(－1,2)是直线l的一个方向向量，你能写出l的一个法向量吗？
[提示] (2,1)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法．( )
(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．( )
(3)一个倾斜角α不能确定一条直线．( )
(4)斜率公式与两点的顺序无关．( )
(5)直线的方向向量与法向量不唯一．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
[提示] (1)错误．除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度．
(2)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．
(3)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α．
(4)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．
(5)正确．若a为直线的方向向量，则λa(λ≠0)也是直线的方向向量．
2．如图所示，直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．以上都不对
C [根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°．]
3．直线l过点M(1,2)，N(2,5)，则l的斜率为( )
A．3 B．－3 C．eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
A [根据题意，l的斜率为eq \f(5－2,2－1)＝3．]
4．直线l经过点A(2,1)和B(－5，－2)，则直线l的一个方向向量为 ．
(－7，－3) [eq \(AB,\s\up7(→))＝(－5－2，－2－1)＝(－7，－3)．]
5．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为 ．
2或eq \f(2,9) [∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kBC，即eq \f(5,3－a)＝eq \f(9a＋7,5)，∴a＝2或a＝eq \f(2,9)．]
【例1】 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α