第2章 2.2.4 点到直线的距离-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义
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在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？
1．点到直线的距离
(1)平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度．
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．
思考：点P(x0，y0)到直线l1：x＝x1的距离是多少？点P(x0，y0)到直线l2：y＝y1的距离为多少？
[提示] |x0－x1|；|y0－y1|．
2．两条平行直线之间的距离
(1)两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(2)两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离．
(3)两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当点在直线上时，点到直线的距离公式仍适用．( )
(2)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b．
( )
(3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为eq \f(|m－2n|,\r(2))．( )
(4)两直线x＋2y＝m与2x＋4y＝3n的距离为eq \f(|m－3n|,\r(5))．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
[提示] (1)正确．
(2)应是d＝|y0－b|．
(3)正确．
(4)错误．将2x＋4y＝3n化为x＋2y＝eq \f(3,2)n，因此距离为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m－\f(3,2)n)),\r(5))．
2．(教材P95练习A①改编)原点到直线x＋2y－5＝0的距离是( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)
D [由点到直线的距离公式得：d＝eq \f(|0＋0－5|,\r(12＋22))＝eq \r(5)．]
3．分别过点M(－1,5)，N(2,3)的两直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是 ．
3 [d＝|2－(－1)|＝3．]
4．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－2＝0间的距离为 ．
1 [d＝eq \f(|－7－－2|,\r(32＋42))＝1．]
5．求与直线l：3x－4y－11＝0平行且与直线l距离为2的直线方程．
[解] ∵与l平行的直线方程为3x－4y＋c＝0．
根据两平行直线间的距离公式得eq \f(|c－－11|,\r(32＋－42))＝2，解得c＝－1或c＝－21．
∴所求方程为：3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0．
【例1】 求过点M(－2,1)且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线的方程．
[解] 当直线的斜率不存在时，直线为x＝－2，它到A、B的距离不相等，故可设直线方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0．
由eq \f(|－k－2＋2k＋1|,\r(k2＋1))＝eq \f(|3k＋2k＋1|,\r(k2＋1))，
解得k＝0或k＝－eq \f(1,2)．
所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0．
点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|．
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
eq \([跟进训练])
1．求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为eq \r(2)的直线的方程．
[解] ①当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0．
由题意知eq \f(|3k－1|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，解得k＝1或k＝－eq \f(1,7)．
∴所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0．
②当直线不经过原点时，设所求直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，即x＋y－a＝0．
由题意知eq \f(|3＋1－a|,\r(2))＝eq \r(2)，解得a＝2或a＝6．
∴所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．
综上所述，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．
【例2】 已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－21＝0，l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离．
[解] l1的斜率为k1＝eq \f(2,7)，l2的斜率k2＝eq \f(6,21)＝eq \f(2,7)．
因为k1＝k2，且l1与l2不重合，所以l1∥l2，
l2的方程可化为2x－7y－7＝0，
所以l1与l2间的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－8＋7)),\r(22＋72))＝eq \f(1,\r(53))＝eq \f(\r(53),53)．
求两平行线间距离一般有两种方法
(1)转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．
(2)公式法：直接用公式d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，但要注意两直线方程中x，y的系数必须分别相同．
eq \([跟进训练])
2．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程．
[解] 法一：设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0，
∵两直线的距离为2，
∴eq \f(|6－m|,\r(52＋122))＝2，∴m＝32或m＝－20．
∴所求直线为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．
法二：设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0．
在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，
点P0到直线5x－12y＋c＝0的距离为
d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－12×\f(1,2)＋c)),\r(52＋－122))＝eq \f(|c－6|,13)，
由题意得eq \f(|c－6|,13)＝2，则c＝32或c＝－20．
∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．
[探究问题]
1．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．你能求出d的取值范围吗？
[提示] 如图，
显然有0
