第2章 2.2.2　直线的方程-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

这是一份第2章 2.2.2　直线的方程-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义，共18页。
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．怎样表示直线的方程呢？
1．直线的点斜式方程与斜截式方程
在平面直角坐标系中，如果已知P0(x0，y0)是直线l上一点及l的斜率信息，就可以写出直线l的方程．
(1)如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝x0．
(2)直线的点斜式方程：
若直线l的斜率存在且为k，P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．由直线上一点和直线斜率确定，通常称为直线的点斜式方程．
思考1：直线的点斜式方程应用范围是什么？
[提示] 直线l的斜率k存在．
(3)直线的斜截式方程
当直线l既不是x轴也不是y轴时，若直线l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a，与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b．如果已知直线的斜率为k，截距为b，则直线l的方程为y＝kx＋b．由直线的斜率和截距确定，通常称为直线斜截式方程．
思考2：直线的斜截式方程应用范围是什么？
[提示] 直线既不与x轴重合也不与y轴重合．
2．直线的两点式方程与截距式方程
(1)直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x2≠x1，y2≠y1时，则eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)称为直线的两点式方程．
(2)若直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，则方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1称为直线的截距式方程．
思考3：直线的两点式方程和截距式方程的应用范围分别是什么？
[提示] 两点式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，截距式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点．
3．直线的一般式方程
直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1,3)．( )
(2)直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3．( )
(3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示．( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
[提示] (1)由点斜式方程的形式知正确．
(2)由斜截式方程的形式知正确．
(3)两点式方程不能表示与坐标轴平行或重合的直线，错误．
(4)正确．
2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
C [方程变形为y＋2＝－(x＋1)，
∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1．]
3．过点(1,2)和(3,5)的直线方程为 ．
3x－2y＋1＝0 [由直线的两点式方程，得eq \f(y－2,5－2)＝eq \f(x－1,3－1)，化简得3x－2y＋1＝0．]
4．经过点P(－2,1)，且斜率为－1的直线方程为 ．
x＋y＋1＝0 [由题意知，直线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0．]
【例1】 写出下列直线的点斜式方程．
(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；
(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程；
(3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；
(4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．
[解] (1)因为倾斜角为45°，
所以斜率k＝tan 45°＝1，
所以直线的方程为y－5＝x－2．
(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°．
由题意知，直线l的倾斜角为135°，
所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1．
所以直线的方程为y－4＝－(x－3)．
(3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，
所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1．
(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．
1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．
2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
eq \([跟进训练])
1．求满足下列条件的直线的点斜式方程．
(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．
[解] (1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．
(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0．
(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝eq \f(－4－3,5－－2)＝eq \f(－7,7)＝－1．
又∵直线过点P(－2,3)，
∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．
【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3．
(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5．
(3)过点A(－1，－2)，B(－2,3)．
[思路探究] 先求直线的斜率，结合y轴上的截距可用斜截式方程求解．
[解] (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝3x－3．
(2)∵倾斜角是60°，∴斜率k＝tan 60°＝eq \r(3)，由斜截式可得方程y＝eq \r(3)x＋5．
(3)斜率为k＝eq \f(3＋2,－2＋1)＝－5，由点斜式得y－3＝－5(x＋2)，化为斜截式y＝－5x－7．
1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别．
2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．
eq \([跟进训练])
2．(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程；
(2)求过点A(6，－4)，斜率为－eq \f(4,3)的直线的斜截式方程；
(3)已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率，在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标．
[解] (1)易知k＝－1，b＝－2，
故直线的斜截式方程为y＝－x－2．
(2)由于直线的斜率k＝－eq \f(4,3)，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－eq \f(4,3)(x－6)，化成斜截式为y＝－eq \f(4,3)x＋4．
(3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)．
【例3】 在△ABC中，A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，
(1)求BC所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
[思路探究] (1)由两点式直接求BC所在直线的方程；
(2)先求出BC的中点，再由两点式求直线方程．
[解] (1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
∴由两点式得eq \f(y－－4,－2－－4)＝eq \f(x－5,0－5)，
即2x＋5y＋10＝0．
故BC所在直线的方程为2x＋5y＋10＝0．
(2)设BC的中点为M(x0，y0)，
则x0＝eq \f(5＋0,2)＝eq \f(5,2)，
y0＝eq \f(－4＋－2,2)＝－3．∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－3))，
又BC边上的中线经过点A(－3,2)．
∴由两点式得eq \f(y－2,－3－2)＝eq \f(x－－3,\f(5,2)－－3)，
即10x＋11y＋8＝0．
故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0．
1．由两点式求直线方程的步骤
(1)设出直线所经过点的坐标．
(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．
(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．
2．求直线的两点式方程的策略以及注意点
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
eq \([跟进训练])
3．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为 ；
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝ ．
(1)x＝2 (2)－2 [(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2．
(2)由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为eq \f(y＋1,4＋1)＝eq \f(x－2,－3－2)，即x＋y－1＝0．
又点P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2．]
[探究问题]
1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？
[提示] 都可以，原因如下：
(1)直线和y轴相交于点(0，b)时：此时倾斜角α≠eq \f(π,2)，直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．
(2)直线和y轴平行(包含重合)时：此时倾斜角α＝eq \f(π,2)，直线的斜率k不存在，不能用y＝kx＋b表示，而只能表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0．
2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？为什么？
[提示] 能表示一条直线，原因如下：当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可变形为y＝－eq \f(A,B)x－eq \f(C,B)，它表示过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(C,B)))，斜率为－eq \f(A,B)的直线．
当B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0变成Ax＋C＝0．
即x＝－eq \f(C,A)，它表示与y轴平行或重合的一条直线．
【例4】 设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．若直线l不过第三象限，则a的取值范围为 ．
[思路探究] 含有参数的一般式直线方程问题⇒化为直线方程的相应形式，根据实际情况求解．
[1，＋∞) [把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a≤0，,a＋2≥0，))解得a≥1．所以a的取值范围为[1，＋∞)．]
1．本例中若将方程改为“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他条件不变，又如何求解？
[解] (1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不过第三象限，符合．
(2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝eq \f(1,1－a)x－eq \f(2＋a,1－a)，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,1－a)≤0，,－\f(2＋a,1－a)≥0，))解得a＞1．由(1)(2)可知a≥1．
2．若本例中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？
[解] 把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因为直线l不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y轴上的截距小于等于零．即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a≥0，,a＋2≤0，))解得a≤－2．所以a的取值范围为(－∞，－2]．
当题目给出直线的一般式方程而考查直线经过的象限问题时，可将一般式方程转化为斜截式方程(但它的参数要有限制，注意分类讨论)，直接研究y＝kx＋b：①k>0，b>0，经过第一、二、三象限；②k>0，b