第2章 2.6.2　双曲线的几何性质-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

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我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0,1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！
1．双曲线的几何性质
思考1：能否用a，b表示双曲线的离心率？
[提示] 能. e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))．
思考2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？
[提示] 有影响，因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))，故当eq \f(b,a)的值越大，渐近线y＝eq \f(b,a)x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
2．等轴双曲线
实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率e＝eq \r(2)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等轴双曲线的离心率为eq \r(2)．( )
(2)双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x．
( )
(3)离心率越大，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线的斜率绝对值越大．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
[提示] (1)√ 因为a＝b，所以c＝eq \r(2)a，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)．
(2)× 由eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1，得y＝±eq \f(a,b)x，所以渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x．
(3)√ 由eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝eq \r(e2－1)(e＞1)，所以e越大，渐近线y＝±eq \f(b,a)x斜率的绝对值越大．
2．若00)．
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．
(3)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,b2＋λ)＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2)．
(4)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
(5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
(6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
eq \([跟进训练])
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为eq \f(13,5)；
(2)渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，且经过点A(2，－3)．
[解] (1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又eq \f(c,a)＝eq \f(13,5)，
∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，
故其标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,144)＝1．
(2)∵双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)．①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴eq \f(4,a2)－eq \f(9,b2)＝1．②
由①②联立，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq \f(a,b)＝eq \f(1,2)．③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴eq \f(9,a2)－eq \f(4,b2)＝1．④
由③④联立，解得a2＝8，b2＝32．
∴所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,32)＝1．
[探究问题]
1．求离心率的突破点是什么？
[提示] 通过已知条件结合双曲线的几何性质建立等式关系．
2．如何求离心率的取值范围？
[提示] 利用定义结合已知条件建立不等关系求解．
【例3】 已知A、B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，求E的离心率．
[解] 设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，如图所示，
|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在Rt△BMN中，|BN|＝a，|MN|＝eq \r(3)a，故点M的坐标为M(2a，eq \r(3)a)，代入双曲线方程得a2＝b2，所以e＝eq \r(2)．
(变换条件)设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若PF1⊥PF2且∠PF1F2＝30°，求离心率．
[解] 在直角三角形PF1F2中，由题设可知：|F1F2|＝2c，|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以2a＝eq \r(3c)－c，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)－1)＝eq \r(3)＋1．
求离心率的方法与技巧
(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e＝eq \f(c,a)；二是依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含eq \f(b,a)的方程，求出eq \f(b,a)后利用e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))求离心率．
(2)求离心率的范围一般是根据条件建立a，b，c的不等式，通过解不等式得eq \f(c,a)或eq \f(b,a)的范围，再求得离心率的范围．
【例4】 如图，已知F1，F2为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求双曲线的渐近线方程．
[思路探究] 根据Rt△PF2F1中的边角关系及双曲线的定义可得a，b的关系，进而可求渐近线方程．
[解] 设F2(c,0)，(c＞0)，P(c，y0)，
则eq \f(c2,a2)－eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，解得y0＝±eq \f(b2,a)．
∴|PF2|＝eq \f(b2,a)．
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，则|PF1|＝2|PF2|．①
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a．②
由①②，得|PF2|＝2a．
∵|PF2|＝eq \f(b2,a)，∴2a＝eq \f(b2,a)，即b2＝2a2．
∴eq \f(b,a)＝eq \r(2)．
∴渐近线方程为y＝±eq \r(2)x．
1．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线为y＝±eq \f(b,a)x，双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1的渐近线为y＝±eq \f(a,b)x，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．
2．若已知渐近线方程为mx±ny＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，可用下面的方法来解决．
方法一：分两种情况设出方程进行讨论．
方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)，求出λ即可．
显然方法二较好，避免了讨论．
3．有共同渐近线的双曲线的方程．
与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．若λ＞0，则实轴在x轴上；若λ＜0，则实轴在y轴上，再依据题设条件可确定λ．
eq \([跟进训练])
3．双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形．求双曲线C的渐近线方程．
[解] 双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，
若△AF1F2是顶点为120°的等腰三角形．
可得c＝eq \r(3)b，所以c2＝3b2，即a2＋b2＝3b2，a2＝2b2，
解得eq \f(b,a)＝eq \f(\r(2),2)，或eq \f(a,b)＝eq \r(2)．
所以双曲线的渐近线方程为：y＝±eq \r(2)x或y＝±eq \f(\r(2),2)x．

1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．
2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．
1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )
A．eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1 B．eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,25)－eq \f(x2,9)＝1
C．eq \f(x2,100)－eq \f(y2,36)＝1 D．eq \f(x2,100)－eq \f(y2,36)或eq \f(y2,100)－eq \f(x2,36)＝1
B [实轴长为10，虚轴长为6，所以a＝5，b＝3．
当焦点在x轴上时，方程为eq \f(x2,25)－eq \f(y2,9)＝1；当焦点在y轴上时，方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,9)＝1．]
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±eq \f(\r(3),3)x，则双曲线的离心率为( )
A．eq \f(3,2) B．eq \f(2\r(3),3)
C．eq \f(\r(7),4) D．eq \f(\r(5),5)
B [由双曲线的渐近线方程是y＝±eq \f(\r(3),3)x知eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)，所以b＝eq \f(\r(3),3)a，所以c2＝a2＋b2＝a2＋eq \f(1,3)a2＝eq \f(4,3)a2，所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(4,3)，所以e＝eq \f(2\r(3),3)．故选B．]
3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(x,2)，虚轴长为4，则该双曲线的标准方程是 ．
eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1或y2－eq \f(x2,4)＝1 [若双曲线的焦点在x轴上，则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，2b＝4，解得b＝2，a＝4，所以此时双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1；若双曲线的焦点在y轴上，则eq \f(a,b)＝eq \f(1,2)，2b＝4，解得b＝2，a＝1，所以此时双曲线的标准方程为y2－eq \f(x2,4)＝1．综上可知：该双曲线的标准方程是eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1或y2－eq \f(x2,4)＝1．]
4．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．
eq \f(x2,4)－eq \f(3,4)y2＝1 [双曲线右顶点为(a,0)，一条渐近线x－eq \r(3)y＝0，
∴1＝eq \f(a,\r(1＋3))＝eq \f(a,2)．∴a＝2，
又eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)，∴b＝eq \f(2\r(3),3)，∴双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(3,4)y2＝1．]
5．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2eq \r(13)，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7．求这两条曲线的方程．
[解] 由已知：c＝eq \r(13)，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实轴、半虚轴长分别为m，n，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－m＝4，,7·\f(\r(13),a)＝3·\f(\r(13),m)，))
解得a＝7，m＝3．所以b＝6，n＝2．
所以椭圆方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,36)＝1，双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)．
2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(重点)
3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点)
1．通过对双曲线几何性质的学习，培养直观想象素养．
2．借助于几何性质的应用，提升逻辑推理，数学运算素养．
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
性质
图形
焦点
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
焦距
2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
由双曲线的标准方程求其简单的几何性质
由双曲线的几何性质确定标准方程
与双曲线有关的离心率问题
与渐进线有关的问题