第2章 2.5.1　椭圆的标准方程-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

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“嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，其主要目的是释放月球车为“嫦娥三号”任务实现月球软着陆进行部分关键技术试验，并对“嫦娥三号”着陆区进行高精度成像．“嫦娥二号”进入太空轨道绕月球运转时，其轨道就是以月球为一个焦点的椭圆，本节我们将学习椭圆的定义及标准方程．
1．椭圆的定义
(1)定义：如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆．
(2)相关概念：两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距．
思考1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
[提示] 2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
2．椭圆的标准方程
思考2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？
[提示] a，b的值及焦点所在的位置．
思考3：根据椭圆方程，如何确定焦点位置？
[提示] 把方程化为标准形式，x2，y2的分母哪个大，焦点就在相应的轴上．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1的焦点坐标是(±3,0)．( )
(3)eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)× 需2a＞|F1F2|．
(2)× (0，±3)．
(3)× a＞b＞0时表示焦点在y轴上的椭圆．
2．以下方程表示椭圆的是( )
A．x2＋y2＝1 B．2x2＋3y2＝6
C．x2－y2＝1 D．2x2－3y2＝6
B [只有B符合椭圆的标准方程的形式eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(可化为\f(x2,3)＋))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y2,2)＝1))．]
3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( )
A．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1
C．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1或eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1
D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1或eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1
C [若椭圆的焦点在x轴上，则c＝1，b＝2，得a2＝5，此时椭圆方程是eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1；若焦点在y轴上，则a＝2，c＝1，则b2＝3，此时椭圆方程是eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1．]
4．椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝ ．
2 [由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝6，所以|PF2|＝6－|PF1|＝6－4＝2．]
【例1】 根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26．
(2)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上．
(3)过(－3,2)且与eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点．
[解] (1)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．
∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5．
∴b2＝a2－c2＝144．
∴所求椭圆的标准方程为：eq \f(y2,169)＋eq \f(x2,144)＝1．
(2)设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，
∵焦点在x轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1，
又椭圆经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，∴eq \f(1,b2＋1)＋eq \f(\f(9,4),b2)＝1，
解之得b2＝3，∴a2＝4．
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
(3)由方程eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1可知，其焦点的坐标为(±eq \r(5)，0)，即c＝eq \r(5)．
设所求椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则a2＝b2＋5，因为过点(－3,2)，代入方程为eq \f(9,a2)＋eq \f(4,a2－5)＝1(a＞b＞0)，
解得a2＝15(a2＝3舍去)，b2＝10，
故椭圆的标准方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1．
利用待定系数法求椭圆的标准方程
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．
提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．
eq \([跟进训练])
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在x轴上，且a＝4，c＝2；
(2)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))．
[解] (1)∵a2＝16，c2＝4，∴b2＝16－4＝12，
且焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1．
(2)法一： ①当椭圆的焦点在x轴上时，设标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2),a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2),b2)＝1，,0＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2),b2)＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1,4)，))
因为a＞b＞0，所以方程组无解．
②当椭圆的焦点在y轴上时，设标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，
依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2),a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2),b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2),a2)＋0＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5)，))
所以所求方程为eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1．
法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,9)m＋\f(1,9)n＝1，,\f(1,4)n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝5，,n＝4，))
故所求方程为5x2＋4y2＝1，即eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1．
[探究问题]
1．如何用集合语言描述椭圆的定义？
[提示] P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a＞|F1F2|}．
2．如何判断椭圆的焦点位置？
[提示] 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．
3．椭圆标准方程中，a，b，c三个量的关系是什么？
[提示] 椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2(如图所示)．
【例2】 设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,\f(75,4))＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解] 由椭圆方程知，a2＝25，b2＝eq \f(75,4)，∴c2＝eq \f(25,4)，
∴c＝eq \f(5,2)，2c＝5．
在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs 60°，
即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．①
由椭圆的定义，得10＝|PF1|＋|PF2|，
即100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|．②
②－①，得3|PF1|·|PF2|＝75，
所以|PF1|·|PF2|＝25，
所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝eq \f(25\r(3),4)．
1．将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“∠F1PF2＝30°”其余条件不变，求△F1PF2的面积．
[解] 由椭圆方程知，a2＝25，b2＝eq \f(75,4)，∴c2＝eq \f(25,4)，∴c＝eq \f(5,2)，2c＝5．
在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs 30°，
即25＝|PF1|2＋|PF2|2－eq \r(3)|PF1|·|PF2|．①
由椭圆的定义得10＝|PF1|＋|PF2|，
即100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|．②
②－①，得(2＋eq \r(3))|PF1|·|PF2|＝75，
所以|PF1|·|PF2|＝75(2－eq \r(3))，
所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 30°＝eq \f(75,4)(2－eq \r(3))．
2．将椭圆的方程改为“eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1”其余条件不变，求△F1PF2的面积．
[解] |PF1|＋|PF2|＝2a＝20，又|F1F2|＝2c＝12．
由余弦定理知：(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs 60°，
即：144＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|．
所以|PF1|·|PF2|＝eq \f(256,3)，
所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝eq \f(64\r(3),3)．
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a．
(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
拓展延伸：椭圆中的焦点三角形
椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
【例3】 如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．
[解] 由垂直平分线性质可知|MQ|＝|MA|，
|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|．
∴|CM|＋|MA|＝5．
∴M点的轨迹为椭圆，其中2a＝5，
焦点为C(－1,0)，A(1,0)，
∴a＝eq \f(5,2)，c＝1，∴b2＝a2－c2＝eq \f(25,4)－1＝eq \f(21,4)．
∴所求轨迹方程为：eq \f(x2,\f(25,4))＋eq \f(y2,\f(21,4))＝1．
求解与椭圆相关的轨迹问题的方法
eq \([跟进训练])
2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．
[解] 如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
由题意动圆M内切于圆C1，
∴|MC1|＝13－r．
圆M外切于圆C2，
∴|MC2|＝3＋r．
∴|MC1|＋|MC2|＝16＞|C1C2|＝8，
∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，
且2a＝16,2c＝8，
b2＝a2－c2＝64－16＝48，
故所求轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1．
(1)平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2aeq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＞|F1F2|，轨迹为椭圆,2a＝|F1F2|，线段F1F2,2a＜|F1F2|，不存在))．
(2)求椭圆的方程，可以利用定义求出参数a，b，c其中的两个量；也可以用待定系数法构造三者之间的关系，但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．
(3)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．
1．椭圆eq \f(x2,25)＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
D [由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8．]
2．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．圆 D．以上都不对
B [|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|＝4，∴点M的轨迹为线段F1F2．]
3．椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,32)＝1的焦距为 ．
8 [由方程得a2＝32，b2＝16，∴c2＝a2－b2＝16．
∴c＝4,2c＝8．]
4．已知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长是 ．
16 [由椭圆定义知，|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，又△ABF2的周长等于|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝16．]
5．设F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))到F1，F2两点的距离之和为4，求椭圆C的方程是 ．
eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 [|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2，
∴原方程化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1，将Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))代入方程得b2＝3，∴椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．]
学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点)
2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
1．通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养数学抽象素养．
2．借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养．
条件
结论
2a＞|F1F2|
动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2|
动点的轨迹是线段F1F2
2a＜|F1F2|
动点不存在，因此轨迹不存在
焦点位置
在x轴上
在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1
(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1
(a＞b＞0)
图形
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
求椭圆的标准方程
椭圆的定义及其应用
与椭圆有关的轨迹问题