第1章 1.2.3 直线与平面的夹角-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义
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倾斜的大树，因倾斜而闻名的斜塔，高昂的塔克炮筒，发射导弹的壮观场面……在这些画面中都让我们依稀看到了直线与平面相交的影子，如果把大树、斜塔、炮筒、导弹抽象成直线，把地面抽象成平面，怎样来刻画直线相对于平面的倾斜程度？
1．直线和平面所成的角
2．最小角定理
3．用空间向量求直线与平面的夹角
如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝eq \f(π,2)－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－eq \f(π,2)，特别地cs θ＝sin〈v，n〉或sin θ＝|cs〈v，n〉|．
思考：直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？
[提示] 不是．直线和平面的夹角为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－〈s，n〉))．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角．( )
(2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角．( )
(3)斜线与平面的夹角为[0,90°]．( )
(4)直线与平面的夹角为[0,90°]．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
[提示] (1)× 错误，角的度数还可以是零度．
(2)√ 根据线面角的定义知正确．
(3)× 斜线与平面的夹角为(0,90°)．
(4)√ 正确．
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60°
C．30° D．以上均错
C [设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cs 120°|＝eq \f(1,2)，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°．]
3．已知向量m，n分别为直线l和平面α的方向向量、法向量，若cs〈m，n〉＝－eq \f(\r(3),2)，则直线l与平面α所成的角为________．
60° [设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cs〈m，n〉|＝eq \f(\r(3),2)．又∵θ∈[0,90°]，∴θ＝60°．]
4．在正方形ABCDA1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为________．
30° [如图，连接B1D1交A1C1于O，连接OC，因为几何体是正方体，所以OB1⊥平面AA1C1C，
所以∠B1CO是CB1与平面AA1C1C所成角，
设正方体的棱长为1，则OB1＝eq \f(\r(2),2)，CB1＝eq \r(2)，
sin∠B1CO＝eq \f(\f(\r(2),2),\r(2))＝eq \f(1,2)，可得∠B1CO＝30°．
即CB1与平面AA1C1C所成角的大小为30°．]
【例1】 ∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝eq \r(2)a，求OA与平面α所成的角．
[思路探究] 根据定义或cs θ＝cs θ1·cs θ2求解．
[解] 法一：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴AB＝AC＝a．
又∵BC＝eq \r(2)a，
∴AB2＋AC2＝BC2．
∴△ABC为等腰直角三角形．
同理△BOC也为等腰直角三角形．
取BC中点为H，连接AH，OH，
∴AH＝eq \f(\r(2),2)a，OH＝eq \f(\r(2),2)a，AO＝a，
AH2＋OH2＝AO2．
∴△AHO为等腰直角三角形．∴AH⊥OH．
又∵AH⊥BC，OH∩BC＝H，
∴AH⊥平面α．
∴OH为AO在α平面内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角．
在Rt△AOH中，∴sin∠AOH＝eq \f(AH,AO)＝eq \f(\r(2),2)．
∴∠AOH＝45°．
∴OA与平面α所成的角为45°．
法二：∵∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线，
作∠BOC的角平分线OH交BC于H．
又OB＝OC＝a，BC＝eq \r(2)a，∴∠BOC＝90°．
故∠BOH＝45°，由公式cs θ＝cs θ1·cs θ2，
得cs∠AOH＝eq \f(cs∠AOB,cs∠BOH)＝eq \f(\r(2),2)，
∴OA与平面α所成的角为45°．
求线面角的关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，进而证明AH⊥平面α，从而证明H是点A在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式cs θ＝cs θ1·cs θ2求线面角，也是常用的方法．
eq \([跟进训练])
1．如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．若∠PBC＝60°，求直线PB与平面ABCD所成的角θ．
[解] 由题意得∠CBD＝45°，
∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角θ．
∵cs∠PBC＝cs θ·cs∠CBD，∠PBC＝60°．
即cs 60°＝cs θ·cs 45°，∴cs θ＝eq \f(\r(2),2)，θ＝45°．
[探究问题]
1．用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？
[提示] 寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的投影．
2．定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？
[提示] ①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0°；
②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为eq \f(π,2)；
③若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为O，在直线上任取异于O点的另一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂足，则OA即为直线在平面内的投影，∠AOP即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．
【例2】 如图所示，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值．
[思路探究] (1)证明BC和平面PAC内的两条相交直线垂直．
(2)作出AD在平面PAC内的射影后，构造三角形求解．
[解] (1)因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以PA⊥BC．
又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC，又AC⊂平面PAC，
PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC．
(2)取PC的中点E，连接DE．
因为D为PB的中点，所以DE∥BC，所以DE⊥平面PAC．
连接AE，则AE是AD在平面PAC内的投影，所以∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角．设PA＝AB＝a，在直角三角形ABC中．
因为∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，
所以BC＝eq \f(a,2)，DE＝eq \f(a,4)，
在直角三角形ABP中，AD＝eq \f(\r(2),2)a，
所以sin∠DAE＝eq \f(DE,AD)＝eq \f(\f(a,4),\f(\r(2),2)a)＝eq \f(\r(2),4)．
即AD与平面PAC夹角的正弦值为eq \f(\r(2),4)．
1．(变问法)若本例条件不变，问题(2)改为：D为PB上的一点，且BD＝eq \f(1,3)PB，试求AD与平面PAC夹角的正弦值．
[解] 由已知BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAC，BC⊥PC，过PB的三等分点D作DE∥BC，则DE⊥平面PAC，连接AE，AD，
则∠DAE为AD与平面PAC的夹角，不妨设PA＝AB＝1，因为∠ABC＝60°，
所以BC＝eq \f(1,2)，DE＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)，PB＝eq \r(2)，BD＝eq \f(\r(2),3)．
在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cs 45°＝eq \f(5,9)，∴AD＝eq \f(\r(5),3)，所以sin∠DAE＝eq \f(DE,AD)＝eq \f(\f(1,3),\f(\r(5),3))＝eq \f(\r(5),5)．
即AD与平面PAC夹角的正弦值为eq \f(\r(5),5)．
2．(改问法)若本例的题(2)条件不变，求AD与平面PBC的夹角的正弦值，结果如何？
[解] 由例题(1)知BC⊥平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBC．
过A作AE⊥PC．
所以AE⊥平面PBC．
连接ED，则∠ADE为AD与平面PBC的夹角．设PA＝2a，AB＝2a，所以PB＝2eq \r(2)a．
故AD＝eq \r(2)a．
在△APC中，AP＝2a，
AC＝AB·sin 60°＝2a×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)a，
所以PC＝eq \r(3a2＋4a2)＝eq \r(7)a，设∠ACP＝θ，
则AE＝AC·sin θ＝AC×eq \f(AP,PC)
＝eq \r(3)a×eq \f(2a,\r(7)a)＝eq \f(2\r(3),\r(7))a
＝eq \f(2\r(21),7)a，
所以sin∠ADE＝eq \f(AE,AD)＝eq \f(\f(2\r(21)a,7),\r(2)a)＝eq \f(\r(42),7)．
即AD与平面PBC夹角的正弦值为eq \f(\r(42),7)．
用定义法求直线与平面的夹角
找直线在平面内的射影，充分利用面面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
【例3】 如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点M是A1B1的中点．
(1)求证：B1C∥平面AC1M；
(2)求AA1与平面AC1M所成角的正弦值．
[解] (1)证明：在直三棱柱A1B1C1ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点M是A1B1的中点．
以C为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则B1(0,1,2)，C(0,0,0)，A(1,0,0)，C1(0,0,2)，A1(1,0,2)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，2))，eq \(B1C,\s\up7(→))＝(0，－1，－2)，
eq \(AC1,\s\up7(→))＝(－1,0,2)，
eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，2))，
设平面AC1M的法向量n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC1,\s\up7(→))＝－x＋2z＝0，,n·\(AM,\s\up7(→))＝－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＋2z＝0，))
取z＝1，得n＝(2，－2,1)，
∵eq \(B1C,\s\up7(→))·n＝0，B1C⊄平面AC1M，
∴B1C∥平面AC1M．
(2)eq \(AA1,\s\up7(→))＝(0,0,2)，平面AC1M的法向量n＝(2，－2,1)，
设AA1与平面AC1M所成角为θ，
则AA1与平面AC1M所成角的正弦值：
sin θ＝eq \f(|\(AA1,\s\up7(→))·n|,|\(AA1,\s\up7(→))|·|n|)＝eq \f(2,2×3)＝eq \f(1,3)，
所以AA1与平面AC1M所成角的正弦值为eq \f(1,3)．
用向量法求线面角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量eq \(AB,\s\up7(→))；
(3)求平面的法向量n；
(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝eq \f(|n·\(AB,\s\up7(→))|,|n|·|\(AB,\s\up7(→))|)．
eq \([跟进训练])
2．已知棱台ABCA1B1C1，平面AA1C1C⊥平面A1B1C1，∠B1A1C1＝60°，∠A1B1C1＝90°，AA1＝AC＝CC1＝eq \f(A1C1,2)，D，E分别是BC和A1C1的中点．
(1)证明：DE⊥B1C1；
(2)求DE与平面BCC1B1所成角的余弦值．
[解] (1)证明：过点A作AO⊥平面A1B1C1，交A1C1于点O，连接B1O，设AA1＝AC＝CC1＝eq \f(A1C1,2)＝2，
则A1O＝1，A1B1＝2，∴B1O⊥A1C1，B1O＝eq \r(3)，
以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，\r(3)))，C(0,2，eq \r(3))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，\f(5,4)，\r(3)))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，0))，B1(eq \r(3)，0,0)，C1(0,3,0)，
eq \(DE,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),4)，－\f(1,4)，－\r(3)))，eq \(B1C1,\s\up7(→))＝(－eq \r(3)，3,0)，
又eq \(DE,\s\up7(→))·eq \(B1C1,\s\up7(→))＝0，∴DE⊥B1C1．
(2)eq \(CB1,\s\up7(→))＝(eq \r(3)，－2，－eq \r(3))，eq \(CC1,\s\up7(→))＝(0,1，－eq \r(3))，
设平面BCC1B1的法向量n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(CB1,\s\up7(→))＝\r(3)x－2y－\r(3)z＝0，,n·\(CC1,\s\up7(→))＝y－\r(3)z＝0，))
取y＝eq \r(3)，得n＝(3，eq \r(3)，1)，
eq \(DE,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),4)，－\f(1,4)，－\r(3)))，
设DE与平面BCC1B1所成角为θ，
则sin θ＝eq \f(|\(DE,\s\up7(→))·n|,|\(DE,\s\up7(→))|·|n|)＝eq \f(4\r(3),13)．
∴cs θ＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),13)))eq \s\up12(2))＝eq \f(11,13)．
∴DE与平面BCC1B1所成角的余弦值为eq \f(11,13)．
1．知识：掌握线面角的概念以及最小角定理．
2．方法：(转化思想)利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量，其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系．
1．若直线l与平面α所成角为eq \f(π,3)，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(2π,3)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))
D [由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为eq \f(π,3)，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为eq \f(π,2)．]
2．已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(5),2)
C．eq \f(\r(10),5) D．eq \f(\r(10),10)
C [连接A1C1交B1D1于O点，由已知得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，∴C1O⊥平面BDD1B1，连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即为所求．
C1O＝eq \f(1,2)×eq \r(42＋42)＝2eq \r(2)，
BC1＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)，
∴sin∠C1BO＝eq \f(C1O,BC1)＝eq \f(2\r(2),2\r(5))＝eq \f(\r(10),5)．]
3．若平面α的一个法向量为(1,1,1)，直线l的方向向量为(0,3,4)，则l与α所成角的正弦值为________．
eq \f(7\r(3),15) [设l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝eq \f(|1×0＋1×3＋1×4|,\r(3)×\r(02＋32＋42))＝eq \f(7,\r(3)×\r(25))＝eq \f(7\r(3),15)．]
4．在正三棱锥PABC中，PA＝4，AB＝eq \r(3)，则侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为________．
eq \f(\r(15),4) [如图，
在正三棱锥PABC中，PA＝4，AB＝eq \r(3)，
设P在底面上的射影为O，则O为△ABC的中心，
由已知求得AO＝1，又PA＝4，
∴PO＝eq \r(42－12)＝eq \r(15)．
∴sin∠PAO＝eq \f(PO,PA)＝eq \f(\r(15),4)．
即侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为eq \f(\r(15),4)．]
5．在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，求直线BC与平面PAC所成的角．
[解] 以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A(a,0,0)，B(0，a,0)，
C(－a，0,0)，
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(a,2)，\f(a,2)))，
从而eq \(CA,\s\up7(→))＝(2a,0,0)，eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a，－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq \(CB,\s\up7(→))＝(a，a,0)．
设平面PAC的一个法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，
则cs〈eq \(CB,\s\up7(→))，n〉＝eq \f(\(CB,\s\up7(→))·n,|\(CB,\s\up7(→))||n|)＝eq \f(a,\r(2a2)·\r(2))＝eq \f(1,2)．
所以〈eq \(CB,\s\up7(→))·n〉＝60°．
所以直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性．
2．会求直线与平面的夹角．(重点、难点)
通过学习空间线面角，提升数学运算、逻辑推理素养．
公式cs θ＝cs θ1·cs θ2的应用
用定义法解决直线与平面的夹角问题
用向量求直线与平面所成的角
