第2章 2.5.2　椭圆的几何性质-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

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奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处．当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有)．所以能产生很好的听觉效果．其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？
椭圆的简单几何性质
思考1：椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？
[提示] 最大距离：a＋c；最小距离：a－c．
思考2：椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中a，b，c的几何意义是什么？
[提示] 在方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a．( )
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值a－c．( )
(3)椭圆上的离心率e越小，椭圆越圆．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
[提示] (1)× 椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长等于2a．
(2)√ 椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c．
(3)√ 离心率e＝eq \f(c,a)越小，c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆．
2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )
A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0)
C．(－eq \r(6)，0)，(eq \r(6)，0) D．(0，－eq \r(6))，(0，eq \r(6))
D [x2＋eq \f(y2,6)＝1焦点在y轴上，长轴端点坐标为(0，－eq \r(6))，(0，eq \r(6))．]
3．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(3,4) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(2,3)
A [化椭圆方程为标准形式得eq \f(x2,4)＋y2＝1，
所以a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝3．
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)．]
4．椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1的焦点坐标是 ，顶点坐标是 ．
(0，±eq \r(7)) (±3,0)，(0，±4) [由方程eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1知焦点在y轴上，所以a2＝16，b2＝9，c2＝a2－b2＝7．
因此焦点坐标为(0，±eq \r(7))，顶点坐标为(±3,0)，(0，±4)．]
【例1】 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
[思路探究] 化为标准方程，确定焦点位置及a，b，c的值，再研究相应的几何性质．
[解] 把已知方程化成标准方程eq \f(x2,52)＋eq \f(y2,42)＝1，可知a＝5，b＝4，所以c＝3．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)，两个焦点分别是F1(－3,0)和F2(3,0)，椭圆的四个顶点是A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－4)和B2(0,4)．
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
eq \([跟进训练])
1．求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
[解] 将椭圆方程变形为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，
∴a＝3，b＝2，∴c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(9－4)＝eq \r(5)．
∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2eq \r(5)，焦点坐标为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，
顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3)．
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为eq \f(\r(5),5)；
(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．
[解] (1)将方程4x2＋9y2＝36化为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，
可得椭圆焦距为2c＝2eq \r(5)．又因为离心率e＝eq \f(\r(5),5)，
即eq \f(\r(5),5)＝eq \f(\r(5),a)，所以a＝5，从而b2＝a2－c2＝25－5＝20．
若椭圆焦点在x轴上，则其标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1；
若椭圆焦点在y轴上，则其标准方程为eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,20)＝1．
(2)依题意2a＝2×2b，即a＝2b．
若椭圆焦点在x轴上，设其方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2b，,\f(4,a2)＋\f(16,b2)＝1.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝68，,b2＝17，))
所以标准方程为eq \f(x2,68)＋eq \f(y2,17)＝1．
若椭圆焦点在y轴上，设其方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2b，,\f(16,a2)＋\f(4,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝32，,b2＝8.))
所以标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,32)＝1．
利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项
1用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法.
2根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程.
3在求解a2、b2时常用方程组思想，通常由已知条件与关系式a2＝b2＋c2，e＝eq \f(c,a)等构造方程组加以求解.
提醒：解答本例时容易忽视焦点的位置而漏解.
eq \([跟进训练])
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是10，离心率是eq \f(4,5)；
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．
[解] (1)设椭圆的方程为
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．
由已知得2a＝10，a＝5，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，∴c＝4．
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．
∴椭圆方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1．
(2)依题意可设椭圆方程为
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b,2c＝6，
∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1．
[探究问题]
1．求椭圆离心率的关键是什么？
[提示] 根据e＝eq \f(c,a)，a2－b2＝c2，可知要求e，关键是找出a，b，c的等量关系．
2．a，b，c对椭圆形状有何影响？
[提示]
【例3】 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
[思路探究] 由题设求得A、B点坐标，根据△ABF2是正三角形得出a，b，c的关系，从而求出离心率．
[解] 设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．
依题意设A点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(b2,a)))，
则B点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，－\f(b2,a)))，
∴|AB|＝eq \f(2b2,a)．
由△ABF2是正三角形得2c＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(2b2,a)，
即eq \r(3)b2＝2ac，
又∵b2＝a2－c2，∴eq \r(3)a2－eq \r(3)c2－2ac＝0，
两边同除以a2得eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))eq \s\up12(2)＋2eq \f(c,a)－eq \r(3)＝0，
解得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)．
1．(变换条件)本例中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”．如何求椭圆的离心率？
[解] 设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)，
设A点坐标为(0，y0)(y0＞0)，
则B点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(c,2)，\f(y0,2)))，
∵B点在椭圆上，
∴eq \f(c2,4a2)＋eq \f(y\\al(2,0),4b2)＝1，
解得yeq \\al(2,0)＝4b2－eq \f(b2c2,a2)，
由△AF1F2为正三角形得4b2－eq \f(b2c2,a2)＝3c2，
即c4－8a2c2＋4a4＝0，
两边同除以a4得e4－8e2＋4＝0，
解得e＝eq \r(3)－1．
2．(变换条件)“若△ABF2是正三角形”换成“椭圆的焦点在x轴上，且A点的纵坐标等于短半轴长的eq \f(2,3)”，求椭圆的离心率．
[解] 设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
由题意知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(2,3)b))在椭圆上，
∴eq \f(c2,a2)＋eq \f(4,9)＝1，解得e＝eq \f(\r(5),3)．
求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a和c，再求e＝eq \f(c,a)，也可利用e＝eq \r(1－\f(b2,a2))求解．
(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成eq \f(c,a)的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解．
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a、b．
2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．
3．求离心率e时，注意方程思想的运用．
1．椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1的离心率( )
A．eq \f(\r(7),4) B．eq \f(9,16)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,4)
A [a2＝16，b2＝9，c2＝7，从而e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4)．]
2．若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A．eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,72)＝1 B．eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,9)＝1
C．eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,45)＝1 D．eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,36)＝1
A [由已知得a＝9,2c＝eq \f(1,3)×2a，∴c＝eq \f(1,3)a＝3，b2＝a2－c2＝72．
又焦点在x轴上，∴椭圆方程为eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,72)＝1．]
3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为( )
A．eq \f(1,2) B．2
C．eq \f(1,4) D．4
C [椭圆x2＋my2＝1的标准形式为：x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1．
因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，所以eq \f(1,m)＝4，所以m＝eq \f(1,4)．]
4．若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．
eq \f(3,5) [由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，
又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，
即5e2＋2e－3＝0，∴e＝eq \f(3,5)或e＝－1(舍去)．]
5．已知椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1．
(1)求椭圆的长轴长和短轴长；
(2)求椭圆的离心率；
(3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点P(－4，1)的椭圆方程．
[解] (1)椭圆的长轴长为2a＝6，短轴长为2b＝4．
(2)c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(5)，
所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3)．
(3)若以椭圆的长轴端点为短轴端点，则b′＝3，可设椭圆方程为eq \f(x2,a′2)＋eq \f(y2,9)＝1，又椭圆过点P(－4,1)，
将点P(－4,1)代入得eq \f(16,a′2)＋eq \f(1,9)＝1，
解得a′2＝18．故所求椭圆方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．
2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．(重点、难点)
通过椭圆几何性质的学习，培养直观想象，数学运算素养．
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
范围
x∈[－a，a]，
y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，
y∈[－a，a]
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴|B1B2|＝2b，长轴|A1A2|＝2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)(0＜e＜1)
椭圆的几何性质
利用几何性质求椭圆的标准方程
求椭圆的离心率