2021学年5 一元二次方程的根与系数的关系示范课ppt课件

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一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系的应用
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式 不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？
一元二次方程的根与系数的关系
从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为： 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x2＋7x＋6＝0； (2)2x2－3x－2＝0.
解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6. Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0. ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1＋x2＝－7，x1x2＝6.
(2)这里a＝2，b＝－3，c＝－2.Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－2)＝9＋16＝25>0，∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2＝ ，x1x2＝－1.
例2：根据一元二次方程的根与系数的关系，求 下列方程两个根x1，x2的和与积：(1)x2－6x－15＝0 (2)3x2＋7x－9＝0； (3)5x－1＝4x2.
解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15. (3)方程化为4x2－5x＋1＝0，
一元二次方程的根与系数的关系的应用
例3：已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值．
导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和可求出另一根，再运用两根之积求出常数项中p的值．
解： 设方程的两根为x1和x2， ∵x1＋x2＝6，x1＝2，∴x2＝4.　 又∵x1x2＝ ＝p2－2p＋5＝2×4＝8， ∴p2－2p－3＝0，解得 p＝3或p＝－1.　　　　
已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值．
例4：方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x12＋x22＝4，则k的值为________．
导引：由x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝4，根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．∵x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝ (x1＋x2)2－ 2x1·x2＝4，x1＋x2＝－2k，x1·x2＝k2－2k＋1，∴4k2－4(k2－2k＋1)＝4，解得k＝1.　
已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，再将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数的方程，进而求出待定字母的值．