人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质习题

课后训练

基础巩固

1．作∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(　　)．

①作射线OC；②以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E；③分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C.

A．①②③          B．②①③

C．②③①          D．③②①

2．三角形中到三边距离相等的点是(　　)．

A．三条边的垂直平分线的交点    B．三条高的交点

C．三条中线的交点      D．三条内角平分线的交点

3．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是(　　)．

A．PD＝PE

B．OD＝OE

C．∠DPO＝∠EPO

D．PD＝OD

4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3 cm，那么AE＋DE等于(　　)．

A．2 cm    B．3 cm     C．4 cm     D．5 cm

5．在△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别为(　　)．

A．2 cm,2 cm,2 cm       B．3 cm,3 cm,3 cm

C．4 cm,4 cm,4 cm       D．2 cm,3 cm,5 cm

能力提升

6．如图所示，∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，则∠DCO＝________.

7．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，则D到AB的距离为__________．

8．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC的度数为__________．

9．如图，BN是∠ABC的平分线，点P在BN上，点D，E分别在AB，BC上，∠BDP＋∠BEP＝180°，且∠BDP，∠BEP都不是直角，求证：PD＝PE.

10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF.

(1)试说明CF＝EB的理由；

(2)请你判断AE，AF与BE的大小关系，并说明理由．

11．如图，木工师傅常用角尺来作任意一个角的平分线，请你设计一个方案，只用角尺来作∠AOB的平分线，并说明理由．

12．已知：如图所示，BF与CE相交于点D，BD＝CD，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，求证：点D在∠BAC的平分线上．

参考答案

1．C

2．D　点拨：由角的平分线的性质知，到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以到三角形三边距离相等的点是三条内角平分线的交点．

3．D　点拨：由角平分线的性质得PE＝PD，进而可证△PEO≌△PDO，得OE＝OD，∠DPO＝∠EPO，但PD＝OD是错误的．

4．B　点拨：因为BE平分∠ABC，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点D，

所以DE＝EC，AE＋DE＝AE＋EC＝AC＝3 cm.

5．A　点拨：因为点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，

所以设点O到三边AB，AC，BC的距离为x cm.

由三角形的面积公式得，×6x＋×8x＋×10x＝×6×8，

解得x＝2(cm)．

6．60°　点拨：因为CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD＝CE，

所以OC为∠AOB的平分线．

所以∠AOC＝30°.

所以∠DCO＝60°.

7．14　点拨：设BD＝9x，CD＝7x，

所以9x＋7x＝32，解得x＝2.

所以BD＝18，CD＝14.由于AD平分∠BAC交BC于点D，

则点D到AB的距离等于CD＝14.

8．120°　点拨：点O到三边的距离相等，

所以点O是三个内角的平分线的交点．

又因为∠A＝60°，

所以∠B＋∠C＝120°，∠B＋∠C＝60°.

所以∠BOC＝180°－60°＝120°.

9．证明：如图，过点P分别作PF⊥AB于点F，PG⊥BC于点G，

∵BN是∠ABC的平分线，

∴PF＝PG.

又∵∠BDP＋∠BEP＝180°，∠PEG＋∠BEP＝180°，

∴∠BDP＝∠PEG.在△PFD和△PGE中，

∵

∴△PFD≌△PGE(AAS)．

∴PD＝PE.

10．解：(1)∵∠C＝90°，

∴DC⊥AC.

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，

∴DC＝DE，∠DEB＝∠C＝90°.

在Rt△DCF与Rt△DEB中，

∵

∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)．

∴CF＝EB.

(2)AE＝AF＋BE.

理由如下：∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠EAD.

又∵AD＝AD，∠C＝∠DEA＝90°，

∴△ACD≌△AED(AAS)．

∴AC＝AE.

由(1)知BE＝CF，

∴AC＝AF＋CF＝AF＋BE.

∴AE＝AF＋BE.

11．解：方案：如图，(1)在射线OA上截取OM为一定的长度a，在OB上截取ON＝a；

(2)分别过点M，N作OA，OB的垂线，设交点为P；

(3)连接OP，则OP就是∠AOB的平分线．

理由：在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM＝ON，OP＝OP，

所以Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)．

所以∠MOP＝∠NOP.

12．证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BED＝∠CFD＝90°.

在△BDE和△CDF中，

∵

∴△BDE≌△CDF(AAS)．

∴DE＝DF.

∵BF⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BAD＝∠CAD，即点D在∠BAC的平分线上．