北师大版八年级下册1 等腰三角形习题

13.3.2 等边三角形（1）

一．选择题（共8小题）

1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是 （　　）

A． 180°         B． 220°         C． 240°         D． 300°　

2．下列说法正确的是（　　）

A． 等腰三角形的两条高相等      C． 有一个角是60°的锐角三角形是等边三角形

B． 等腰三角形一定是锐角三角形   D．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等

3．在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　）

A． 1个     B． 2个    C． 3个     D． 4个　

4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（　　）

A． 25°      B． 30°    C． 45°     D． 60°　

5．如图，已知D、E、F分别是等边 △ABC的边AB、BC、AC上的点，

且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（　　）

　A． △DEF是等边三角形    B． △ADF≌△BED≌△CFE

　C． DE=AB        D． S△ABC=3S△DEF

6．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（　　）

A． 30°     B． 45°     C． 120°        D． 15°

7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）

A． 4cm    B． 3cm     C． 2cm     D． 1cm

  第 1 题               第4题                 第5题                      第7题

8．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（　　）

A． 直角三角形    B． 钝角三角形    C． 等腰三角形    D． 等边三角形　

二．填空题（共10小题）

9．已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A=　_________　度．

10．△ABC中，∠A=∠B=60°，且AB=10cm，则BC=　_________　cm．　

11．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是　_________　三角形．　[来源:学+科+网]

12．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是　_________　．

13．如图，M、N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN．则∠BAN=　_________　．

 第 13题                               第14题                 第15题  

14．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠AOC等于　_________　．

15．如图，将边长为6cm的等边三角形△ABC沿BC方向向右平移后得△DEF，DE、AC相交于点G，若线段CF=4cm，则△GEC的周长是　_________　cm．

16．如图，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE=　_________　度．

[来源:学科网]

 第 16 题                  第17题                 第18题   　

17．三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=　_______°．

18．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是　_________　．

①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO．　

三．解答题（共5小题）

19．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．

（1）求证：△ABE≌△CAD；

（2）求∠BFD的度数．[来源:学科网ZXXK]

20．如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．

　21．已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：

（1）△AEF≌△CDE；

（2）△ABC为等边三角形．

22．已知：如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC于点D，且DE=DB，试判断△CEB的形状，并说明理由．

23．已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．

（1）求证：AN=BM；

（2）求证：△CEF为等边三角形；

（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．

13.3.2 等边三角形

三、CDDBDCCD

四、9、60；10、10；11、等边；12、等边三角形；13、90度；14、60度；15、6；

16、60；17、130；18、①②

三、19、（1）证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°，

在△ABE和△CAD中，，

∴△ABE≌△CAD（SAS）．

（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，

又∵△ABE≌△CAD，

∴∠ABE=∠CAD．

∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．[来源:学科网ZXXK]

20、解答： 解：△BDC≌△AEC．理由如下：

∵△ABC、△EDC均为等边三角形，

∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠ECD=60°．

从而∠BCD=∠ACE．[来源:学科网]

在△BDC和△AEC中，，

∴△BDC≌△AEC（SAS）．

21、　解答： 证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）

∴FA=EC（等量加等量和相等）．（1分）

∵△DEF是等边三角形（已知），

∴EF=DE（等边三角形的性质）．（2分）

又∵AE=CD（已知），[来源:Zxxk.Com]

∴△AEF≌△CDE（SSS）．（4分）

（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），

∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），

△DEF是等边三角形（已知），

∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），[来源:学§科§网]

∴∠BCA=60°（等量代换），[来源:学§科§网Z§X§X§K]

由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，

∵∠DEC+∠FEC=60°，

∴∠EFA+∠FEC=60°，

又∠BAC是△AEF的外角，

∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，

∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．（6分）

∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．（7分）

22、解答： 解：△CEB是等边三角形．（1分）

证明：∵AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC，

∴∠CBE=∠ABE=60°．（3分）

又DE=DB，BE⊥AC，

∴CB=CE．（5分）

∴△CEB是等边三角形．（7分）

23、（1）证明：∵△ACM，△CBN是等边三角形，

∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，[来源:学.科.网]

∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，

即：∠ACN=∠MCB，

在△ACN和△MCB中，

AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，

∴△ACN≌△MCB（SAS）．[来源:学科网]

∴AN=BM．

（2）证明：∵△ACN≌△MCB，

∴∠CAN=∠CMB．

又∵∠MCF=180°﹣∠ACM﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴∠MCF=∠ACE．

在△CAE和△CMF中

∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，

∴△CAE≌△CMF（ASA）．

∴CE=CF．

∴△CEF为等腰三角形．

又∵∠ECF=60°，

∴△CEF为等边三角形．

（3）解：如右图，

∵△CMA和△NCB都为等边三角形，

∴MC=CA，CN=CB，∠MCA=∠BCN=60°，

∴∠MCA+∠ACB=∠BCN+∠ACB，即∠MCB=∠ACN，

∴△CMB≌△CAN，

∴AN=MB，

结论1成立，结论2不成立．