初中人教版13.3.2 等边三角形课后测评

人教版八年级数学上册

13.3.2.2《等边三角形的判定》同步训练习题（学生版）

一．选择题

1．（2014秋•北流市期末）下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　）

A．有两个内角是60°的三角形   B．三边都相等的三角形

C．有一个角是60°的等腰三角形   D．有两个外角相等的等腰三角形

2．（2014秋•瑞金市期末）一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

3．（2014春•禅城区校级月考）在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则△ABC为（　　）

A．钝角三角形 B．直角三角形

C．等边三角形 D．等腰不等边三角形

4．（2013春•射洪县期末）已知△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣b）2=0，则∠A等于（　　）

A．60° B．45° C．90° D．不能确定

5．（2014•祁阳县校级模拟）等边三角形的边长为4cm，它的高为（　　）

A． B． C． D．

6．（2013秋•渭城区校级期末）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，过点B作BD⊥AC于D，已知△ABC的周长为m，则AD=（　　）

A． B． C． D．

7．（2013秋•中江县期末）如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（　　）

A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a

8．（2013秋•奉贤区校级期末）如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，CD、CE是斜边上的高和中线，AC=CE=10cm，则BD长为（　　）

A．5cm B．10cm C．15cm D．25cm

二．填空题

9．（2014春•宜宾县校级期末）如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=　　　　　　时，△AOP为等边三角形．

10．（2015春•普陀区期末）如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长=　　　　　　．

11．（2013秋•南京校级期末）如图，在△ABC中，AB=1.8，BC=3.9，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为　　　　　　．

12．（2012秋•盐城校级期中）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形．取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作．则第6个正六边形的边长是　　　　　　．

三．解答题

13．（2014秋•厦门期末）如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60°，且AB∥CD，求证：△OCD是等边三角形．

14．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．

15．（2014秋•滨州期末）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．

（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；

（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．

16．（2010秋•苏州期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）求证：△DOC是等边三角形；

（2）当AO=5，BO=4，α=150°时，求CO的长；

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

人教版八年级数学上册

13.3.2.2《等边三角形的判定》同步训练习题（教师版）

一．选择题

1．（2014秋•北流市期末）下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　）

A．有两个内角是60°的三角形

B．三边都相等的三角形

C．有一个角是60°的等腰三角形

D．有两个外角相等的等腰三角形

选D

点评：节本题考查了等边三角形的判定：

（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．

（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．

（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

2．（2014秋•瑞金市期末）一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（　　）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

考点： 等边三角形的判定．21世纪教育网

分析： 根据等腰三角形的性质易得这个三角形的三边都相等，然后根据等边三角形的判定方法可得这个三角形必为等边三角形．

解答： 解：∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，

即三角形任意一边上的高与中线重合，

∴这个三角形的三边都相等，

∴这个三角形必为等边三角形．

故选D．

点评： 本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

3．（2014春•禅城区校级月考）在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则△ABC为（　　）

A．钝角三角形 B．直角三角形

C．等边三角形 D．等腰不等边三角形

考点： 等边三角形的判定．21世纪教育网

分析： 先根据△ABC中，AB=AC得出∠B=∠C，再根据三角形内角和定理即可得出∠B的度数，进而得出结论．

解答： 解：∵△ABC中，AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠A=60°，

∴∠B=∠C==60°，

∴△ABC是等边三角形．

故选C．

点评： 本题考查的是等边三角形的判定，熟知三个角都相等的三角形是等边三角形是解答此题的关键．

4．（2013春•射洪县期末）已知△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣b）2=0，则∠A等于（　　）

A．60° B．45° C．90° D．不能确定

考点： 等边三角形的判定与性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．21世纪教育网

分析： 根据非负数的性质列式求解得到a=b=c，然后选择答案即可．

解答： 解：△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣b）2=0，

∴b﹣c=0，a﹣b=0，

∴a=b=c，

∴三角形是等边三角形，所以∠A=60°．

故答案选：A．

点评： 本题考查了三角形的形状判定，非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．

5．（2014•祁阳县校级模拟）等边三角形的边长为4cm，它的高为（　　）

A． B． C． D．

考点： 等边三角形的性质．21世纪教育网

分析： 根据等边三角形的性质：三线合一，即可求得BD的长，又由勾股定理即可求的高．

解答： 解：如图：过点A作AD⊥BC于D，

∵等边三角形△ABC的边长为4cm，

∴DC=DB=2cm，

∵AB=4cm，

∴AD==2cm．

故选A．

点评： 本题主要考查等边三角形的性质与勾股定理．此题比较简单，注意熟练掌握等边三角形的性质是解此题的关键．

6．（2013秋•渭城区校级期末）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，过点B作BD⊥AC于D，已知△ABC的周长为m，则AD=（　　）

A． B． C． D．

考点： 等边三角形的性质．21世纪教育网

分析： 根据等边三角形的性质可得AB=AC=BC，再根据等腰三角形三线合一可得AD=AC，进而得到AD=．

解答： 解：∵三角形ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC，

∵BD⊥AC于D，

∴AD=AC，

∵△ABC周长为m，

∴AD=，

故选B．

点评： 本题考查了等边三角形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．

7．（2013秋•中江县期末）如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（　　）

A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a

考点： 等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．21世纪教育网

专题： 计算题．

分析： △MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，根据等腰三角形的性质求解．

解答： 解：∵△MNP中，∠P=60°，MN=NP

∴△MNP是等边三角形．

又∵MQ⊥PN，垂足为Q，

∴PM=PN=MN=4，NQ=NG=2，MQ=a，∠QMN=30°，∠PNM=60°，

∵NG=NQ，

∴∠G=∠QMN，

∴QG=MQ=a，

∵△MNP的周长为12，

∴MN=4，NG=2，

∴△MGQ周长是6+2a．

故选D．

点评： 本题考查了等边三角形的判定与性质，难度一般，认识到△MNP是等边三角形是解决本题的关键．

8．（2013秋•奉贤区校级期末）如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，CD、CE是斜边上的高和中线，AC=CE=10cm，则BD长为（　　）

A．5cm B．10cm C．15cm D．25cm

考点： 等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．21世纪教育网

分析： 根据条件可求得AC=AE=CE=BE，可证得△ACE为等边三角形，可求得DE=AE，可求得DE，则可求得BD．

解答： 解：

∵∠ACB=90°，CE为斜边上的中线，

∴AE=BE=CE=AC=10cm，

∴△ACE为等边三角形，

∵CD⊥AE，

∴DE=AE=5cm，

∴BD=DE+BE=5cm+10cm=15cm，

故选C．

点评： 本题主要考查直角三角形的性质及等边三角形的性质，根据直角三角形的性质求得BE、根据等边三角形的性质求得DE是解题的关键．

二．填空题

9．（2014春•宜宾县校级期末）如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=　a　时，△AOP为等边三角形．

（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．

（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．

（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

10．（2015春•普陀区期末）如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长=　5　．

考点： 等边三角形的判定与性质．21世纪教育网

分析： 在等腰三角形中，2个底角是相等的，这里用180°减去60°就是两个底角的和，再除以2就是等腰三角形的底角的度数，进而判断出三角形为等边三角形，即可求得腰长

解答： 解∵等腰三角形的顶角为60°，

∴底角==60°，

∴三角形为等边三角形，

∴腰长=底边长=5，

所以它的腰长为5，

故答案为5．

点评： 本题考查了三角形的内角和是180°和等腰三角形2个底角是相等的，运用内角和求角．

11．（2013秋•南京校级期末）如图，在△ABC中，AB=1.8，BC=3.9，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为　2.1　．

考点： 等边三角形的判定与性质；旋转的性质．21世纪教育网

分析： 由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．

解答： 解：由旋转的性质可得：AD=AB，

∵∠B=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=AB，

∵AB=1.8，BC=3.9，

∴CD=BC﹣BD=3.9﹣1.8=2.1．

故答案为：2.1．

点评： 此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．

12．（2012秋•盐城校级期中）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形．取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作．则第6个正六边形的边长是　a　．

考点： 等边三角形的判定与性质．21世纪教育网

专题： 规律型．

分析： 延长第2个等边三角形的一边与第1个等边三角形的一边相交于D，然后判定BD是三角形的中位线，然后求出BD的长，再求出BC的长，从而求出第2个等边三角形与第一个等边三角形边长的关系，也就是第2个正六边形与第1个正六边形的边长的关系，再根据此规律依次求解即可．

解答： 解：如图，延长AB与第1个等边三角形的边相交于点D，

∵B为中点，

∴BD=×a=，

∴BC=a﹣﹣=，

∴第2个等边三角形的边长是第1个等边三角形的边长的，

∵正六边形的边长是相应等边三角形边长的，

∴下一个正六边形的边长是前一个正六边形的边长的，

根据题意，第一个正六边形的边长是a，

所以，第6个正六边形的边长：a×（）5=a．

故答案为：a．

点评： 本题考查了等边三角形的性质，三角形的中位线定理，作辅助线并求出后一个等边三角形是前一个等边三角形的边长的是解题的关键．

三．解答题

13．（2014秋•厦门期末）如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60°，且AB∥CD，求证：△OCD是等边三角形．

考点： 等边三角形的判定．21世纪教育网

专题： 证明题．

分析： 根据OA=OB，得∠A=∠B=60°；根据AB∥DC，得出对应角相等，从而求得∠C=∠D=60°，根据等边三角形的判定就可证得结论．　　

解答： 证明：∵OA=OB，

∴∠A=∠B=60°，

又∵AB∥DC，

∴∠A=∠C=60°，∠B=∠D=60°，

∴△OCD是等边三角形．

点评： 本题主要考查了等边三角形的判定和平行线的性质：两直线平行，内错角相等．

14．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．

考点： 等边三角形的判定．21世纪教育网

分析： 由AB=AC，AD⊥BC得到AD是BC的中垂线，由中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等知，BE=CE，即可得出△BCE的形状．

解答： 解：△BCE是等边三角形，理由如下：

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=DC，

∴AD为BC的中垂线，

∴BE=EC，

∵BC=BE，

∴BC=CE=BE，

∴△BCE是等边三角形．

点评： 此题考查等边三角形的判定，关键是利用了中垂线的判定和性质证明BE=CE．

15．（2014秋•滨州期末）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．

（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；

（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．

考点： 等边三角形的判定与性质．21世纪教育网

专题： 探究型．

分析： （1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；

（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB，根据等角对等边可得到DB=DO，同理可证明EC=EO，因为DE=OD=OE，所以BD=DE=EC．

解答： 解：（1）△ODE是等边三角形，

其理由是：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，（2分）

∵OD∥AB，OE∥AC，

∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°（3分）

∴△ODE是等边三角形；（4分）

（2）答：BD=DE=EC，

其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，

∴∠ABO=∠OBD=30°，（6分）

∵OD∥AB，

∴∠BOD=∠ABO=30°，

∴∠DBO=∠DOB，

∴DB=DO，（7分）

同理，EC=EO，

∵DE=OD=OE，

∴BD=DE=EC．（8分）

点评： 此题主要考查学生对等边三角形的判定及性质的理解及运用．

17．（2010秋•苏州期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）求证：△DOC是等边三角形；

（2）当AO=5，BO=4，α=150°时，求CO的长；

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

考点： 等边三角形的判定；等腰三角形的判定．21世纪教育网

专题： 几何综合题；分类讨论．

分析： （1）由△BOC≌△ADC，得出CO=CD，再由∠OCD=60°，得出结论；

（2）由勾股定理的逆定理判断△AOD为直角三角形，利用勾股定理即可得出CO的长；

（3）因为△AOD是等腰三角形，可得①∠AOD=∠ADO、②∠ODA=∠OAD、③∠AOD=∠DAO；若∠AOB=110°，∠COD=60°，∠BOC=190°﹣∠AOD，∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO由①∠AOD=∠ADO可得α=125°，由②∠ODA=∠OAD可得α=110°，由③∠AOD=∠DAO可得α=140°．

解答： （1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，

∴△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，

∴CO=CD．

∴△COD是等边三角形；

（2）∵△ADC≌△BOC，

∴DA=OB=4，

∵△COD是等边三角形，

∴∠CDO=60°，又∠ADC=∠α=150°，

∴∠ADO=∠ADC﹣∠CDO=90°，

∴△AOD为直角三角形．

又AO=5，AD=4，∴OD=3，

∴CO=OD=3；

点评： 此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定等知识，渗透分类讨论思想．